Op. cit., p
sitions qui en permettraient la vérification, des lemmes; or, suivant l'observation de P. Tannery, c'est cet usage de l'analyse que Proclus vise expressément lorsqu'il parle de la méthode platonicienne. A l'appui de cette interprétation de lanalyse platonicienne on peut ajouter que dans les générations qui suivirent Pythagore, et sous linfluence de Pythagore lui-même, un travail s'était accompli pour ramener à une forme rigoureuse les raisonnements mathématiques, travail qui devait nécessairement avoir pour conséquence de dégager les méthodes de démonstration ^ Il n'est même pas interdit de penser qu'un raisonneur à outrance comme Socrate, qui suivant Xénophon - était loin d'être étranger à la culture mathématique, a subi, sans le savoir peut-être, l'influence de cette élaboration méthodologique. En tout cas, c'est ce travail qui paraît avoir abouti, avec Platon, à la constitution de l'analyse comme procédé de démonstration remontant de la proposition énoncée aux principes élémentaires qui permettent d'en établir l'exactitude. Voici enfin une considération dont les historiens de la mathématique grecque ont souligné l'importance : cette analyse, à la différence de l'analyse des modernes, ne se suffit pas à elle-même; car les anciens se sont placés, non sur le terrain de l'algèbre, où les propositions s'expriment en général par des équations et sont réciproques, mais sur le terrain de la géométrie où elles sont d'ordinaire hiérarchiquement ordonnées. Établir que, B étant vrai, A est vrai, n'est pas démontrer que la vérité de A implique la vérité de B. Par exemple, on peut démontrer par régression analytique que les sommets des triangles ayant une base commune et un angle au sommet de valeur constante sont situés sur un cercle; mais on ne peut pas renverser Tordre des propositions, et poser que pour tous les triangles à base commune ayant leur sommet sur un cercle, la valeur de l'angle au sommet est constante; car on négligerait alors les conditions qui sont nécessaires pour la validité de cette proposition : 1° le cercle doit passer par les extrémités de la base, 2° on ne doit considérer que la partie du cercle située d'un seul côté de la base '. De fait, dans les descriptions des modes d'analyse usités par les anciens, que Pappus a placées en tête de son recueil de solutions analytiques,
1. Il'JÔaYÔpai; trjv Trepl a"JTr,v [yewjiîTpiav] çù.oaoï^'.OLw eî; er/f|[ia Ttatoîia; â).£\j- ÔÉpoy |j.îT£ffTr|(Tîv, àvwQev ràc àpyà; a-jT-r,; £7r;(jxoTro'j[i£vo; y.a'i àuXw; xal voepwi; Ta 6£(opr|[xaTa 8'.£p£uvw[j.cvo;. Proclus (d'après Eudème), éd. Friedlein, p. 65.
2. Mem., IV, 7 (3) : Où-/. aTtetpô: ye a-jTtôv [twv ô'jffTUvÉTwv 6iaYpa|A!JLC(Twv] r,v.
3. Haakel, Zur Geschichte der Mathematik im Alterthiim und Mittelatter, Leipzig,
LA DIALECTIQIK SYNTHETIQUE 5;)
ToTTo; àvaXuoasvoç, l'analyse est regardée comme conduisant à une (li'monstration synthétique '.
Il n'est guère douteux, pour conclure encore avec Paul TaniHM-y, que cette liaison de l'analyse et de la synthèse ne se retrouve dans la conception platonicienne de l'analyse. Si la régression, <[ui part de l'observation du sensible et de la pratique vulgaire, aboutit aux hypothèses fondamentales du mathématicien, la science dans sa constitution définitive procède de ces hypothèses, et marche vers les conséquences : q-jx. îtc' àp/;V'' -oiE'JoaÉv/), 7.XX' z~\ TiÂeur-qv "".
LA r)L\LECTIQUE SYNTHETIQUE
29. — Pour suivre dans son développement la philosophie de Platon, il faut encore aller plus loin : l'analyse des mathématiciens n'est pas seulement relative à la déduction progressive qu'elle prépare ; elle est en outre relative à un nouvel effort (l'analyse, qui remonte des hypothèses aux principes absolus qui les fondent. La distinction de la science et de la philosophie est dans la République aussi rigoureuse qu'elle pourra l'être plus tard dans le positivisme; mais la conséquence que Platon en tire est inverse de celle du positivisme : c'est la philosophie qui est autonome et non la science. Les techniciens prennent pourpoint de départ de leurs raisonnements des hypothèses qu'ils ne croient utile de justifier ni pour eux-mêmes ni pour les autres, comme si elles étaient suffisamment claires pour tout le monde-'. Or, tant qu'on ne sera pas remonté au delà de ces suppositions, la mathématique ne méritera pas le nom de science; ses notions initiales ne seront que de simples possibilités *. Elle demeurera une sorte de rêve sans prise directe sur la réalité vraie \
1. VII, 634. Voir encore Zeuthen, Histoire des Mathématiques dans l'Antiquité et le moyen âge, Irad. Mascart, 1902, p. 75 et suiv., et Heath, Thethirteen Books of Eudid's Eléments, t. I, Cambridge, 1908, p. 137 et suiv. " 2. Rep., VI, 310 B.
■i. Rep., VI, 310 C. Tav-a aèv wç eISôteç, TTO'.Tiirâjj.svoi ûttoSéteiç a-JTa, o-Jôéva Aoyov o'jTî aJToï; ouïe à/./.ot; ï-'. àïioOijc Tiépl a-jiôjv S'.Sôvxt to; Travtl çavcpwv.
4. Rodier, Les mathématiques et la dialectique dans le système de Platon, Archiv fur Geschichle dcr Philosophie, année 1U02, t. XV, p. 483. Cf. VÉvolution de la Dialectique de Platon, Année Philosophique, 1903, p. 66.
5. Aï ôk ).o;iia'i [tâ/vai], a; toû ovto? t'. £;pauîv k-KÛ.xu.oâ.-jindx:, -/£(i)(j.£Tpiac te v.x\ Taç xâuTT, £T:o|j.îvac, ijpiï>\i.Z'/ w; ôvsipwtxoufft [j.cv titoi tô ov, uTtap oà àôyva-ov avTat; ISeïv, É'w; av ■jTzobi'jEa'. -/pwfAîvat TavTa; à/.iVT|-o'j; èô)»;, \ir^ £uvâ|XEvai aô-,'ov û'.Sovat a-j-(ijv m yàp ipy^r\ [xîv o |j.yi oIoî, ■:c\vjvr\ £k xa'i xà jJ-ETa^y È| o"j lir, oISe ayti.TTEHAEXTa'., -iç (Arf/avr, Tr|V -:o'.a-JTr,v ôîJ.o).OYtav tiote £7ti(TTT|ar|V yEvÉaSa'. : Rep., VII, 533 B.
Se séparant à la fois des Pythagoriciens, qui mettaient sur le même plan science et philosophie, et de Socrate, dont l'investigation prudente paraît s'être arrêtée à la détermination de l'hypothèse, Platon engage la philosophie mathématique dans une voie toute nouvelle. Les mathématiques situées dans la région de la Stàvota ne sont plus qu'une science intermédiaire \ Leur vérité réside dans une science supérieure, qui est à leur égard ce qu'elles sont elles-mêmes vis-à-vis de la perception du concret. La dialectique a pour fonction de reprendre les hypothèses des techniques particulières et de les pousser jusqu'à leurs principes ■^ elle prend possession de l'inconditionnel; et delà, par une marche qui est inverse de l'analyse, elle forge une chaîne ininterrompue d'idées^ qui, suspendue au principe absolu, constituera un monde complètement indépendant du sensible, le monde de la vôticç. La philosophie mathématique de Platon à son degré le plus haut et sous sa forme définitive sera donc la dialectique, ou, comme on serait tenté de l'appeler par analogie avec la métaphysique qui devait la supplanter, la métamalhématique.
30. — Malheureusement, nous ne possédons pas les renseignements directs et authentiques qui nous permettraient de donner de la métamalhémalique proprement platonicienne un exposé systématique et complet. Nous savons bien qu'elle avait pour objet les nombres idéaux, et après eux les figures idéales; mais ni Platon ne nous dit, ni les allusions des anciens à cette théorie ne nous font comprendre, comment se déterminait d'une façon précise la nature de chacun de ces nombres et de chacune de ces grandeurs. Nous pouvons faire le tour extérieur de la théorie, emprunter aux Dialogues l'indication des principes auxquels elle se rattache et des conséquences qui en dépendent; mais au centre une lacune subsiste; et les livres M et N de la Métaphysique, auxquels nous recourrons plus tard, n'y jettent qu'une lumière oblique et faible, moins propre à révéler qu'à « noyer » les traits véritables de la pensée platonicienne.
1. Cf. Arislote, Met. B 2, 997'" 2 ; -i [is-ra^j, Ttîpl a -rà; u.a6r,(xa-:ixà; zhx: • çdcff'.v £7ri(TTr,(j.x;.
2. Rep., VII, 333 C : r, 5'.a/.c7.T'.y.r, [xï6ooo; txôvri xaCrr, TTops-JEToc, Ta; •j^roOlaî'.ç ava'.po'jrra ïtJ aÙTTjV Tr,v àp-/r|V.
3. Tb Toivjv ETEpov (iâvOavî T[jLf,[j.a toj voyjto'j '/.iroy-i. ii.z toOto, o-j aviTÔ; ô /.ôyo; aTtTSTac T?) T0\j ô'.a/.ÉysffQai ôuvdtjAEc, xiç {nzobzsf.c, uo'.ojaîvo; oiiv. ap"/à~, à)-).à tm ovr; 'jTToÔs'o'si;, otov ÈTr'.ÎJâa;'.; t£ y-ac ôpaà:, "va jJ-É/p". toO àvjiioOéTO'j iizi ttjv toO Travîb; àp-/Yîv tùv, âi}/i[A=vo; à-jT?,;, Ka).;v av r/ôaevo; Ttov Èy.£;'vr,î È)jo|xév(i)v, ovtwî îTil Tî),euTr|V y.axapacvr, à'.cr9r,xM TtavTaTTx^jiv oCiCîvl ■7:pôo-/poj[iEV'jç, iW er5ï<rtv a-jToï; Sl'a-jTÙv st; ay-:à, xaî T£)>e'jTÎ ss; si'or,. Rep., VI, 511 B.
LA DIALECTIQIIK SYNTHETIQUE 57
Pour Platon les nombres sont des Idées. Dans les pages m<'mes du Phédon, où nous avons relevé la théorie de la parlicipalion, l'idée de la dijade et l'idée de la monade sont alléguées pour expliquer le véritable caractère des nombres : on hésite à dire que l'addition de un à un suffise pour produire le nombre deux, il iaut invoquer la participation à l'essence propre de la dyadeK Le témoignage d'Aristole confirme et précise le texte du P/iédon; l'idée du nombre, ou le nombre-idée, est non seulement par delà le nombre sensible, mais aussi par delà le nombre arithmétique. 11 peut y avoir une multitude de nombres semblables entre eux, n'ayant qu'une unité spécifique; mais Vidée est le privilège de l'unité véritable, qui est l'unité numérique elle-même^. A chacun des nombres naturels jusqu'à c/fcc^ correspond une idée et, suivant un texte du livre M qui est expressément rapporté à Platon, chacune de ces idées possède une structure interne qui lui est propre, sans qu'il y ait de l'une à l'autre transport et combinaison d'unités homogènes '".
31. — Quelle place occupent les nombres idéaux dans la théorie des idées? La première si nous en jugeons par un texte très précis de Théophraste qui situe les nombres entre les idées et les principes^; et par l'anecdote célèbre qu'Aristoxène dit tenir d'Aristote, et où l'enseignement de Platon, tout au moins dans les dernières années de sa vie, est caractérisé sur le vif. Platon avait annoncé qu'il parlerait du bien. « Les auditeurs se pressaient dans l'espoir d'entendre parler de ce qui est le bien pour les hommes, fortune, santé, force, en un mot le bonheur parfait ; mais ce furent des discours sur les mathématiques, sur les nombres, sur la géométrie et l'astronomie avec cette conclusion que le bien est l'un; paradoxes qui laissèrent l'auditoire déconcerté, qui en mirent même une partie en fuite®. »
1. 101 B. T; Sas: évl ivb; izoorr-e^ih-oi -r^'i -pôcôîciv aÎTÎav sivas tou G'jo YEvéaOai r^ 6'.ao"/ciT6évTo; Tviv ayi'jrj oCix tùloL^oZ' àv \iyz'.-i, y.al (j-Éya av ^otîyr,ç, ot; oCix oÎtÔ' aXXwç Tzu)? É'y.asTOV Yiyvô;j.Evov r, \xz-zai7yhy -rr,? loîa; oùaia; ïy.y.cîzo-j, ou av \iz-ârr/f^, xal iv to-jio'.c o-jv. ïyv.; [XÉys'.v] oillr,v -;v' aîtiav toO o-Jo -j-svéaSat iW ïi Tv-jV Tr,; ouiSo; [LS-ivyj.m'v, v.où Sîïv to'jto-j [Lzzs.'jyza -zb. |j.é)-).ovTa 6uo à'acaOa'., xai (xovâSoç, 'o iv iiéll-i] h/ saîTÔai.
2. "Qat' tl [i-f] è<TTt Tiapà -à a.ia^i■r^zx xal tk \i.xfii[i.xz '.'/.% sTSp' a-rta ota /.éyouffi Ta eîÔT, Tivéç, o-jx sorat (Aia à.p'.(i\).û> à),),' sî'Ssi o-jcrca, 0'j5' a; àpx«' 'wv ovtwv àpi9[i.ù) k'ffovTa'. tiotol'. xiveç, à)>/.à e'iSsi. Met. B, 1002" 22.
3. [rD.âiTMv]... [i-iyp'. yàp Ssxâooç itotîî tov àpi6;xôv. Phys., 111, 6, 206'' 32.
4. Met. M. 1083" 33. JlXâxwv D.sysv... slvaî -riva S-jâSa 7rpw-:r|V xal -rpiica, xal où ff'j[j.o),r|-oùî elva; toÙç àpi9;j.oùî Ttpb; à),).r|>.0'j;.
."). Metaph., Fr. XII (1.3), édit. Wimmer, t. III, 1862, p. 154. ID.ktwv... eî; ta; lôî'a; àvaTt-wv, Ta-jxa; ô' e'i; toÙ; àp;9[j.oùc5 ^"''- Sk Toûttov et; -rà; àpyjxz. 0. Eléments harmoniques, livre II, § 1: trad. Ruelle, 1876, p. 47.
Aristote indique à plusieurs reprises que les principes des nombres sont d'une part Y Un, d'autre part la dyade du Grand et du Petit. Viin est forme, ajoute Aristote ; la dyade est matière '. Cette opposition fondamentale est conforme à la tradition générale de la cosmologie grecque; elle se rattache dune façon plus particulière aux oppositions pythagoriciennes, mais le limité est devenu Viin, tandis que V illimité, opposé à Viin, a perdu son unité statique, qu'il s'est divisé afin de marquer le double mouvement de l'augmentation et de la diminution. La caractéristique de l'infini est donnée dans le Philèbe : « Tout ce qui devient plus ou moins, qui comporte le fort et le doux, l'excès et tout autre chose semblable, il faut le ramener au genre de l'infini comme à une sorte d'unité '-. » L'«/2, c'est ce qui est sous un rapport identique d'une manière identique sur un objet identique'; c'est le même, que Platon place parmi les genres suprêmes du Sophiste en face de l'hétérogénéité perpétuelle qui caractérise l'infini *.
32. — En définissant les principes des nombres idéaux, nous avons défini les principes qui commandent le système de la philosophie platonicienne ^ Platon professe que l'un est le bien '^, que l'infini est le mal", comme faisaient les Pythagoriciens. C'est dans la combinaison de l'un et de l'infini que va consister tout le développement de cette philosophie. Tandis que ses prédécesseurs immédiats parcouraient d'un bond l'intervalle qui sépare l'un de l'infini, Platon proclame dans le Philèbe la nécessité de marquer dans la combinaison de l'un et de l'infini les étapes intermédiaires, de soumettre le divers et le mouvant à un principe de limitation qui fasse cesser les contrariétés, qui introduise la mesure et l'harmonie par l'achèvement d'un
1. Les textes sur ce point fondamental sont nombreux. Voici les plus importants : M. A, 6, OS?"" 20 : w; (xsv o-jv -jXtiV tq |J.éya xai 70 (Atxpôv elvai àp-/âç, mç ô' O'jctav "ô iv e: è/.sivwv yàp xaxà yiôsEiv to-j Ivôç Ta si'ôï) e'cvai loiiz àpt9[A0vç. [To-j; àp!6(Aoûç entendu comme apposition a -rà eîôt).], et 23" : tô ô' «vtI to-j aTCî'.po'j w; évb; ôuâSa ■no-.f^'joi.: y.où tô aTiïipov âx \i.tyi\o\) xal \i.:v.po\), to'jt' l'oiov. — Cf. Phys., III, 6, 20()''27. IlXaTwv Sià tovto S-jo ta ansipa £7:oir,ffcV, ots v.ix: et:': TYiv a'j;ï*(V èoY.eï Û7rcppâ),).£iv y.al si; anîipov llvat y.a\ èul tyjv y.aQatpEffiv.
2. 'OîTOff' 3V r,[jLÏv q;acvr,Ta; p.xXXov te xal r^TTOv l'rf^ô'^tva. v.ai to dipôôpa y.a\ yip£[j.a oz-//j\i.eyx y.al xb Xiav y.ai ■;iàvO' oTa TO-.a-jTa, et; tô toû àireipo-j -,'Évo; ojç etç £v Sst •navra Ta-jTa TiOlvai, 24 E.
3. Tô y.aTa TaJTa xa\ waa jtw: y.al it£p\ -a-jTÔ, Sophiste 249 B.
