Méray, Leçons nouvelles, t. 1, p

LA NOTION D IMACilNAIIŒ 547

mais dans sos principes généraux et pour la position initiale du problème. (Jn formera la variable complexe x- -f- iij, et on lui fera correspondre une combinaison de la forme u {x, i/)-hiv {x, y). Or, comme le iemar(pie M. Picard au début du second volume de son Traité d'analiise (1H93), « il est clair que la considération d'une telle fonction d(; x-hiy ne peut présenter aucun intérêt particulier : il n'y a là qu'une question de mots, et la liaison par le symbole i de deux fonctions ([uelconques u et v est absolument inutile. Mais on peut ne pas laisser complètement arbitraires les fonctions u et v, et chercher si cette fonction de ce -f- iy ne pourrait pas avoir des caractères qui la rapprocheraient des fonctions d'une variable réelle. C'est ce qu'a fait Gauchy, en cherchant les conditions pour (|ue cette fonction ait une dérivée unique ». Ces conditions sont exprimées par les identités :

?u dx~

« Si a et y satisfont à ces deux identités, la fonction u -\- iv a, en chaque point, une dérivée unique. On dit qu'elle représente une fonclion analytique de x-^ iy ».

Ici encore s'est produit un « phénomène intéressant »< et qu'aucune déduction a priori n'aurait permis d'établir ou même de prévoir. La notion de variable complexe a donné à l'analyse l'arme dont elle avait besoin pour reprendre l'œuvre de Lagrange en l'appuyant sur l'étude rigoureuse de la convergence des séries qu'Abel avait définitivement fondée : « le passage du domaine réel au domaine imaginaire est nécessaire pour expliquer d'une façon régulière comment les séries de Taylor cessent brusquement d'être convergentes ' ».

347. — Au début du xix° siècle enfin, Argand et Français donnèrent une solution définitive au problème de la représentation géométrique des imaginaires. Ce qui rendait difficile le problème, c'était, comme nous l'avons dit, le succès de la corrélation que le système de traduction cartésienne avait établie entre les éléments réels des équations algébriques et les éléments géométriques. Dans ce système les éléments imaginaires avaient une place, mais en un sens tout négatif, et qui paraissait exprimer leur nature intime : ils correspondaient aux points

l. Klein, Elementar Malhemalik, l. I, 1908, p. 49o.

qui ne sont pas donnés dans Tintuilion spatiale. C'est dans cet ordre d'idées, nous avons eu l'occasion de le rappeler, que Poncelel, faisant servir l'analyse à l'extension de la géométi'ie, introduisait les points imaginaires comme conceptions Imaginatives qui n'étaient pas accompagnées de représenlations Imaginatives. La recherche d'Argand procède dune intention contraire : il s'agit pour lui de trouver une traduction graphique qui détermine d'une façon positive les quantités imaginaires. Si l'on part de la proportion

le problème revenait à « trouver un genre de grandeurs auxquelles pût s'allier l'idée de direction, de manière que, étant adoptées deux directions opposées, l'une pour les valeurs positives, l'autre pour les valeurs négatives, il en existât une troisième telle, que la direction positive fût à celle dont il s'agit comme celle-ci est à la direction négative '. » En d'autres termes, on avait pris l'habitude de répéter deux fois le signe de La négation, une fois sur l'axe des abscisses, une fois sur l'axe des ordonnées; en utilisant la notion de direction, en considérant, par exemple, tout segment comme ayant un sens, comme étant un vecteur-, on se servira de l'axe des abscisses pour représenter les quantités réelles — positive à droite — négative à gauche, tandis que Taxe des ordonnées, où un vecteur est moyenne proportionnelle en grandeur et en direction entre les vecteurs de longueur égale à l'unité, l'un positif, l'autre négatif, sera l'axe des quantités imaginaires.

Grâce à la conception d'Argand et de Français, « les symboles de la forme a -f- 6 y/ — i , auxquels on avait réussi à ramener les résultats de toutes les opérations analytiques, n'olTrent plus rien d'impossible ni d'incompréhensible; ce sont des systèmes de deux nombres a, 5, qui se combinent entre eux de la même manière que les systèmes des deux coordonnées de chaque point

1. Argaiid, Essai sur imc manicre de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques (180G), réédité par Iloiiel, 1874, p. 6.

2. Cf. Français, Nouveaux principes de Géométrie de position, et interprétation géométrique des symboles imaginaires, réédités par Hoiiel, ibid., p. 71 : « Application à la mécanique. Une force donnée d'intensité et de direction peut toujours être représentée par une droite donnée de grandeur et de position. qui est le chemin parcouru, en vertu de celte force, dans l'unité de temps. » Voir dans Couturat, De i'Infini mathématique, les ciiapitres sur l'application des nombres complexes au plan et aux vecteurs, p. 173 et suiv.

LA NOTIOiN IJ IMAGINAIRK 549

<riin plan. Dès lors, ajoulo tloiiol, les lioaiix résultats que Caucliy devait découvrir par des prodiges de puissance analytique, allaient se traduire par des constructions géométriques parlant aux yeux, et la discussion des formules devenait un proMcme simple de la fiéomélrie de situation, dont Riemann a plus tard complété la solution ' ».

348. — En présence de ces faits mathématiques la conception purement symbolique des imaginaires, si elle suffit au technicien ou au pédagogue, paraît au philoso{)he trop « faible » pour rendre raison d'une telle puissance. Et, de fait, (^auchy, qui avait tant insisté sur la théorie du symbolisme, proposera luimême deux interprétations différentes des imaginaires. L'une, d'ordre géométrique, est fondée sur les principes d'Argand et de Français, dont Gauchy met l'importance en lumière ^. L'autre, appuyée sur la théorie des congruences arithmétiques que Gauss a fait connaître dans les premières pages de ses Disqiiisitiones arithmeticse (1801), est une « théorie des équivalences algébriques substituée à la théorie des imaginaires ». Suivant cette théorie, écrit Gauchy ^ « / cessera de représenter le signe symbolique \' — 1, que nous répudierons complètement, et que nous pouvons abandonner sans regret, puisqu'on ne saurait dire ce que signifie ce prétendu signe ni quel sens on doit lui attribuer. Au contraire, nous représenterons par la lettre i une quantité réelle, mais indéterminée; et, en substituant le signe :=: au signe =, nous transformerons ce qu'on appelait une équation imaginaire en une équivalence algébrique, relative à la variable / et au diviseur i- -\~ 1 ». Tout polynôme en i est alors égal au reste de sa division par le polynôme i--\- i ; ce qui donne immédiatement l'équation fondamentale /^= — 1, et justifie les règles du calcul des imaginaires.

Des diverses interprétations, qu'a provoquées l'extension de la notion d'imaginaire aux différentes disciplines de la science, y en a-t-il une que nous devions choisir pour la retenir à l'exclusion de toute autre? N est-ce pas au contraire à la connexion des diverses théories, établies on arithmétique, en algèbre, en analyse, en géométrie, qu'il appartient de garantir la vérité de la notion, exactement comme dans les recherches les plus