Nouveaux Essais, livre IV, chap. xvii

3. Nova methodus auferendi omnes terminas inlermedios ev data œquatione. Acta Erud. Lips., II, 204. Voir V^'iater, Caractères de l'algèbre moderne. Revue de métaphysique, 1910, p. 492; et La méthode dans la philosophie des mathématiques, p. 139 et suiv.

L Winter, op. cit., p. olS, et p. 181.

Lagrange s'est engagé dans une voie toute difTérente. Il commence par analyser les divers procédés utilisés avec succès dans la solution des équations du second, du troisième ou du quatrième degré; et il détermine les raisons qui leur ont permis de réussir.

Considérons par exemple Féquation du troisième degré

x' H-/)x- -^ qx -h r = 0.

En faisant x = — ~-]~x\

on arrive à mettre Téquation sous la forme suivante : x"^ -hp'x' -i- ff = 0.

Si on pose d'autre part

on obtient une équation nouvelle, qui finit par se transformer en une équation du sixième degré :

Cette dernière équation, ne contenant que la puissance sixième et la puissance troisième de linconnue, pourra se résoudre par rapport à y^ comme une équation du second degré.

Il est visible que le succès est du à l'intervention d'une équation « secondaire », d'un degré supérieur à celui de la proposée, mais qui peut, grâce à une circonstance fortuite, s'abaisser à un degré inférieur. C'est sur cette notion de l'équation secondaire, ou équation résolvante, que Lagrange concentre son attention : il s'efforce de dégager la forme générale qui en exprime la nature analytique, et de chercher les conditions qui permettent d'en abaisser le degré afin de résoudre par là l'équation proposée.

La forme de l'équation résolvante se détermine à l'aide d'une fonction / (appelée fonction résolvante), qui est définie par l'égalité suivante :

t=zx^-\- ax, -h a-x^ -h ... -h a'""'a;„,

x^, x,, X3... x,n étant les racines de l'équation proposée, et a étant " une racine quelconque de l'équation 7™ — 1 =0, de manière que

LA GENÈSE DE LA NOTION DR OnOlPE 553

Ton ait a- = 1.' » Les diverses valeurs que /peut prendre seront les racines de Véquation résolvante. Or, remarque Lagrange dans les expressions qui donnent /, « on peut échanger entre elles à volonté les racines x„ x„ x,. etc., puisque rien ne les distingue jusqu'ici l'une de l'autre^ .>. Le nombre des racines de la résolvante serait donc donné par le nombre de toutes les permutations possibles entre les racines x,,x„x,, c'est-à-dire que pour une équation du degré m, il serait de 1, 2, 3.. .m. Le degré de la résolvante serait de beaucoup plus élevé que celui de la pro-

posée. , ,

351 La (lueslion est maintenant de savoir dans quel cas ce deo-ré sera susceptible d'abaissement. Pour y répondre, Lagrange considère les échanges qu'il est possible d'etïectuer entre les racines en conservant, en laissant invariante, la fonction résolvante. S'il arrive que / demeure sans changement lorsqu on échange x, avec x.„ x, avec x„ x, avec x,, il y aura deux valeurs de i qui seront égales; on pourra établir, en développant les conséquences de cette permutation, que les racines / de 1 équation résolvante sont égales deux à deux, et le degré de 1 équation sera réduit de moitié. Pour un plus grand nombre de permutations laissant invariable la fonction, les racines de 1 équation seraient égales trois à trois, quatre k quatre, etc.; le degré de l'équation sera ramené au tiers, au quart, etc.

Ces considérations s'appliquent aisément à l'équation générale du troisième degré, que nous avons prise pour exemple. Nous avons pour fonction résolvante, dans les conditions qui ont été définies plus haut :

t=x^-\-ax,-^a-x^.

« Les permutations des racines sont au nombre de 1. 2. 3=6. Donc l'équation résolvante qui admet les t\ /",... /^' pour racines devrait être du sixième degré. Le cube t^ de la fonction résolvante ne peut prendre que deux valeurs distinctes par les sub- «.titutions de x\ x^\ x"'; donc ce cube dépend d'une équation du second degré. On a donc une équation résolvante de degré inférieur au degré de l'équation donnée et le but est atteint . »

La méthode' de Lagrange explique parfaitement pourquoi l'équation du troisième degré a pu être résolue; mais permettra-

1 Trailé de la résolution des équations numériques de tous les degrés, édit. de 1808, note xin, p. 231; et Œuvres, t. VIII, 1879, p. 301.