Winter, op. cit., p. 303, et p. 13G

t-elle, plus heureuse que celle de Tschirnhaus, d'aborder victorieuseiiieul les équations de degré supérieur en assurant un abaissement convenable du degré de la résolvante? « C'est de quoi, concluait Lagrange, il me paraît dii'ficile, sinon impossible, de juger a priori^. >> En fait, la méthode ne donnait pas de résultats généraux au delà du quatrième degré ; Abel a montré en '182(î qu'il n'en pouvait pas être autrement, puisque les équations du degré supérieur au quatrième ne sont pas susceptibles d'une solution par radicaux.

352. — Dès lors, si la mathématique était, comme le voulait Auguste Comte, un instrument de calcul, il faudrait dire que les résolutions numériques des équations ne peuvent se faire avec certitude, à la réserve des équations des quatre premiers degrés et de quelques formes particulières dans les degrés plus élevés. Toute l'attention du savant devrait se porter sur la méthode d'approximation qui, à défaut de résolution exacte, permettrait de saisir les valeurs des racines entre des limites de plus en plus resserrées.

Mais il en est autrement si l'esprit de la mathématique moderne est, suivant la formule de Lejeune-Dirichlet que nous avons rappelée, de substituer des idées au calcul. 11 apparaît alors, quen rattachant la résolubilité algébrique des équations à la considération des permutations entre les racines, et à la recherche d'une fonction rationnelle de ces racines qui demeure invariante par rapport à telle ou telle permutation, Lagrange a énoncé les principes fondamentaux de la théorie qui devait permettre de pénétrer de l'intérieur la structure des équations algébriques, et aboutir avec Galois à distinguer d'une façon générale celles qui sont et celles ([ui ne sont pas résolubles par radicaux.

Entre temps, il convient de le dire pour marquer la continuité de l'effort collectif, Cauchy, qu'aucune recherche si abstraite et si spéculative qu'elle pût paraître, ne laissait indifférent, avait étudié pour elles-mêmes « les fonctions de quantités données qui ne changent pas de valeur quand on modifie l'ordre de ces quantités- », et avait organisé en discipline autonome la théorie des substitutions.

Mais le pas décisif appartient à Galois; il détermine le groupe de permutations entre les racines d'une équation donnée, qui