Op. cit., p. 257: et

2. Voir le Mémoire sur le nombre de valeurs qu'une fonction peut acquérir, lorsqu'on y permute de toutes les manières possibles les quantités quelle renferme, 1813. Journal de l'Ecole polytechnique, XVIP cahier, t. X, p. 1. Œuvres, 2' série, t. I, Paris, 1005, p. 64 et suiv.

laisse invarial>lo loiilo ronctioii ralioniiollemcnt connue des racines'. Ce t^ronpe atlaché à réqualion reflète les propriétés caractéristiques de Téquation, et donnera le moyen de saisir les conditions qui en permettent la résnlubililé.

Pour cela, Galois fait appel à la notion ({'adjonction : Une ({uantité adjointe est une quantité que Ton convient arbitrairement de regarder comme connue. Par exemple, Téquation :

x'" -f- cc^ — Ax'~ — Ax -hi =0

irréductible si les seules quantités rationnelles sont supposées connues, devient réductible si on lui adjoint une racine de l'équation z- — o = 0, c'est-à-dire si on lui adjoint le radical \o. Il est facile, en effet, de vérifier que « son premier membre est le produit de deux facteurs :

lesquels sont rationnels après l'adjonction dont il vient d'être question ^. »

Or, une fois adjointes les racines d'une équation auxiliaire irréductible, Galois exprime le caractère de résolubilité par les conditions suivantes : le groupe des permutations attaché à l'équation se divisera en groupes formés d'un nombre moindre d'éléments, tels que l'on passe de l'un de ces groupes à l'autre par une seule et même substitution, et que tous les groupes contiennent les mêmes substitutions, c'est-à-dire en sous-groupes qui soient eux-mêmes des invariants comme le groupe de l'équation; et, à l'aide d'adjonctions successives, la décomposition du groupe se poursuivra jusqu'à ce qu'il ne contienne plus qu'une seule permutation \

Il serait difficile d'exagérer l'intérêt d'une telle découverte : « A priori^ écrit M. Couturat, il n'y a rien de commun entre la résolution algébrique d'une équation et la décomposition d'un groupe en sous-groupes invariants. Il a fallu le génie de Galois pour apercevoir une analogie entre ces deux processus

1. Mémoire sur les conditions de résolubilitc des équations par radicaux. Œuvres mathématiques d'Evariste Galois, 1897, p. 38.

2. Serri't, Cours d'Algèbre supérieure, 3° édit., t. II, 1866, p. 608.

3. Œuvres, p. 40-44. Cf. Winter, Caractères, etc. p. 312 et siiiv., La méthode, etc., p. 171 et suiv.

intellectuels si divers, et pour découvrir des relations aussi fécondes qu'inattendues entre la science du nombre et la science de Tordre '. »

353. — Ce n'est pas tout, et les résultats obtenus dans le domaine de l'algèbre sont susceptibles d'extension, comme l'avait prévu Galois lui-même qui écrivait la veille de sa mort : « Mes principales méditations, depuis quelque temps, étaient dirigées sur l'application à l'analyse transcendante, de la théorie de l'ambiguïté. Il s'agissait de voir a priori, dans une relation entre des quantités ou fonctions transcendantes, quels échanges on pouvait faire, quelles quantités on pouvait substituer aux quantités données, sans que la relation put cesser d'avoir lieu "^ »

Que l'on se place à ce point de vue abstrait', ou bien, avec Sophus Lie, que l'on adjoigne la notion d'infinitésimal à l'opération de la substitution et que l'on inlroduise ainsi dans l'analyse et dans la géométrie l'étude des transformations continues, le succès a répondu de la façon la plus éclatante aux espérances que Galois avait conçues.

Depuis l'arithmétique jusqu'à la mécanique rationnelle, la théorie des groupes couvre l'ensemble de la science mathématique, aussi vaste qu'on la conçoive. Si nous nous proposions de justifier cette théorie par son extension et par sa fécondité, comme nous l'avons fait pour les imaginaires, il faudrait entrer dans l'examen de quelques-unes des recherches les plus difficiles de la mathématique contemporaine. Mais peut-être un tel examen est-il ici moins nécessaire : la notion d'imaginaire présente cette difficulté qu'elle ne peut être comprise en elle-même, puisqu'elle n'est que le signe d'une opération impossible à effectuer; au contraire rien n'est plus aisé à concevoir qu' « une théorie générale des groupes, où seules les lois de composition des symboles constituant le groupe sont mises en évidence. Ces symboles peuvent être de nature quelconque et représenter des nombres ou ensembles de nombres, ou bien des substitutions, ou encore des opérations dont l'origine est tirée de l'algèbre, de la géométrie ou de la mécanique '*. »

La composition de ces symboles, éléments ou opérations, satisfait aux conditions suivantes : on donne un procédé pour

1. Sur les rapports du nombre et de la grandeur. Revue de métaphysique, 1898, p. 440.

2. Lettre à Auguste Chevalier, du 29 mai 1832, Œuvres, p. 32.

3. Voir Baire, Essai sur une théorie générale de l'intégration et sur la classification des transcendantes, Annales de l'École normale supérieure, 1898, p. 243 et suiv.

4. Encyclopédie des Sciences mathématiques, I, 1, 4 (1909), p. 575. Cf. Goulurat, Les principes, note II, p. 229 et suiv.

obtenir, à l'aide de deux élémenls, ou opdralions, d<î renscmble, a, b, se suivant dans l'ordre ab, un troisième él(';nient de cet enseinblo, r ([ui sera dit le prodiiil. La composition ainsi définie, ou mulliplicalion, n'est pas commulalive en général; les éléments tels que ab = ba, sont dits permutables. — Cette multiplication est associative : (ab) c = a (6c). — De ab = ac, aussi bien que de 6« = ca, résulte b = c.

354. — La théorie générale des groupes nous met ainsi en possession d'une notion dont il n'est pas besoin de justifier l'intelligibilité, qui au contraire servirait à définir l'intelligence en dégageant les caractères les plus profonds qui appartiennent à l'idée d'opération^. La tentation à laquelle bien plutôt il convient de résister, ce serait d'ériger cette notion de groupe, dont nous venons de rappeler la genèse, en une forme innée de l'esprit, en une sorte de jugement synthétique a priori, et d'en faire un principe de déduction progressive à c[ui l'on demanderait d'expliquer telle ou telle détermination particulière.

Pour préciser, nous pouvons nous attacher à la correspondance qui, à la suite des travaux de Sophus Lie et sous une forme tout élémentaire, s'est établie entre la géométrie et l'analyse. L'ensemble des déplacements possibles d'un corps solide constitue un groupe de transformations. Or parmi ces déplacements le géomètre retiendra comme objet propre de son étude ceux qui laissent fixe un des points de l'espace : ils constitueront un sous-groupe.

C'est dans les rapports de ce groupe et de ce sous-groupe, écrit M. Poincaré, qu'il faut chercher l'explication de ce fait que l'espace a trois dimensions. « Le groupe total est d'ordre 6, c'est-àdire que tout déplacement peut être regardé comme une combinaison de six mouvements élémentaires indépendants. Le sousgroupe est d'ordre 3, c'est-à-dire que tout déplacement appartenant à ce sous-groupe, ou, en d'autres termes, tout déplacement qui laisse fixe un point de l'espace, peut être regardé comme une combinaison de trois mouvements élémentaires indépendants. La différence 6-3 représente le nombre des dimensions ». -

Quelle portée convienl-il d'attribuer à une semblable « explication »? On a pu croire qu'elle visait à résoudre philosophiquement la question de l'origine du nombre des dimensions ou Tori-

1. Dufiimier, La généralisation mathénialiqiie. Revue de métaphysique, 1911, p. 747 et suiv.

2. Poincaré, L'espace et la géométrie, Revue de métaphysique, 1895, p. 641.

^ine même de la notion de point; et s'il en était ainsi, on serait bien fondé à signaler dans le raisonnement que nous avons rapporté une de ces « flagrantes pétitions de principe* » dont la philosophie scientifique offre de si nombreux exemples. Mais cette interprétation même a donné occasion à M. Poincaré de bien marquer que 1" « origine » ici ne signifie rien d'autre que le point de départ de Texposition analytique, et qu'il faut entendre par « explication » une résolution intellectuelle qui fixe avec exactitude le caractère de la notion de dimension et de la notion de point ^.

Cette conclusion serait confirmée, si besoin en était, par les recherches de Sophus Lie relatives à la géométrie non euclidienne. Sophus Lie a donné le moyen de ramener à l'unité d'un système les différents types de combinaison spatiale, d'opposer aux groupes non euclidiens le groupe euclidien dont la propriété s'exprime sous une forme remarquablement simplet « L'hypothèse qu'il existe deux mouvements permutables peut être regardée, écrit M. Poincaré, comme un des énoncés du poslulalum d'Euclide '". » Mais il est clair que si on caractérise ainsi chacune des espèces de géométrie, on ne les engendre pas par voie de déduction rationnelle.

355. — Bref, si la doctrine des groupes peut cjonduire à envisager une théorie générale des relations, comme la doctrine des ensembles conduisait à une théorie générale des classes, il y a entre celle-ci et celle-là une différence radicale. L'assimilation métaphysique qu'Aristote avait établie entre le général eiV essentiel avait permis, dans la logique des classes, d'invertir le travail de l'esprit, et d'ériger en principe absolu ce qui était le dernier résultat conquis dans l'ordre de l'investigation intellectuelle; c'est cette inversion dont le fantôme hante depuis des siècles la philosophie scientifique, et que l'on voit encore inspirer les spéculations réalistes des logisticiens. Mais l'idée de groupe doit sa précision et sa fécondité à ce qu'elle dépasse les déterminations a priori auxquelles pourraient atteindre l'appel à l'évidence intuitive ou la dialectique de la connaissance; elle implique des notions qui n'ont pu èlre élaborées que par la réflexion sur la difficulté de