LE SENS DE L INTELLECTUALISME MATHEMATIQUE

solidarité qui fait (lépcndro de rensoniMo des ronnexions spatiales l'objet isolé dans l'intuilion immédiate, qui fait de la partie une fonction du tout. Telle que la conçoit l'idéalisme mathématique de Descartes, la pensée est la prise de possession d'un objet, lequel n'est autre que l'univers. Elle forge les « long^ues chaînes de raisons » (pii sont aussi les chaînes des causes et des effets; elle oppose à la finalité transcendante qui suscite les événements inattendus, la nécessité qui règne à travers la nature, ou mieux qui engendre la nature en rendant les choses consistantes avec elles-mêmes. Une telle pensée s'exerce d'une façon continue dans l'homme; et, en même temps, ainsi qu'en témoigne la notion de la relativité du mouvement, elle constitue l'univers par une armature de relations intellectuelles. De là, l'idée de V inconscient grâce à laquelle Spinoza et Leibniz conçoivent la vie d'un individu comme coextensive d'une certaine manière à la vie totale de l'univers. Tandis que la psychologie, réduite à ses méthodes spécifiques d'observation, détache la conscience de ses racines biologiques, c'est grâce à cette notion d'inconscient que le développement de l'organisme individuel devait apparaître fonction de l'action exercée par l'ensemble des forces universelles, et que la psychologie étendue et fécondée reprenait sa place dans le système des disciplines positives.

De ce point de vue, nous pourrons dire que l'histoire de la philosophie moderne est traversée par deux interprétations contraires du Cogiio. Pour le réalisme, la matière du Cogito n'est rien de plus que sa forme : c'est le fait de penser, tel qu'il se présente à la conscience individuelle. La vie de l'esprit commence avec les états originaux et irréductibles de la cœnesthésie, s'achève avec la conquête et la culture du moi. Pour l'idéalisme, le Cogito signifie que la connexion des idées claires et distinctes constitue a priori la science du monde infini; elle permet à l'homme de se représenter adéquatement un tout dont il est lui-même, en tant qu'individu, une partie, et de se proposer comme le but véritable de son activit;'' l'attachement et le sacrifice au tout. La morale du psychologisme consiste dans le développement de la personne pour la personne; elle peut raffiner, « intensifier » l'égoïsme, elle ne peut pas en sortir. Dans le traité des Passions, dans V Éthique, dans le De rerum originatione radicali, aussi bien qu'autrefois dans la République de Platon, l'intellectualisme mathématique s'est manifesté comme philosophie de la générosité.

359. — Si le xvii^ siècle a mis hors de contestation la portée

spéculative et rorientalion pratique de l'idéalisme mathématique, il y a mêlé des thèses dont Fincertitude et la fragilité devaient se révéler à l'épreuve du temps. Le cartésianisme et le leibnizianisme revêtent la forme du dogmatisme théologique; la constitution de l'univers a son principe dans l'idée de Dieu, elle obéit à des lois dont la simplicité et la rationalité reflètent la perfection divine. Or la mathématique, ni chez Descartes, ni chez Leibniz, n'a satisfait à l'exigence de la simplicité pure et de la rationalité. L'analyse et la géométrie. Vidée et Vobjet, se rapprochent sans doute et se correspondent, mais sans se fondre dans une véritable unité. Oscillant entre l'idéalisme du processus intellectuel et le réalisme de la représentation spatiale, le leibnizianisme ne parvient pas à une interprétation homogène et distincte de la continuité.

Par là nous apercevons la raison du double effort de pensée qui a préparé la conception moderne de la philosophie et la conception moderne de la mathématique. Le courant d'idées qui s'était développé au xviir siècle aboutit, en Allemagne avec la Critique, en France avec le positivisme, à changer les termes du problème philosophique : ce n'est plus Dieu qui est en face de l'univers, c'est l'esprit humain ; il s'agit de déterminer, non plus un plan de création transcendante, mais les conditions de la connaissance scientifique. D'autre part, la notion fondamentale de la continuité, qui avait été introduite et justifiée grâce à l'analogie de l'intuition spatiale, est ramenée par les mathématiciens du xix'' siècle à un enchaînement d'idées claires; la rigueur de l'analyse est appuyée sur l'autonomie du dynamisme intellectuel, tandis que l'horizon des recherches géométriques s'étendait au delà du domaine euclidien. A l'implication confuse des notions analytiques et géométriques, succède une dissociation radicale, propre à mettre en lumière dans le développement ultérieur de la science l'œuvre progressive de connexion et de coordination.

360. — Seulement, soit que ce double mouvement ne se soit pas produit dans l'ordre le plus favorable, soit que la pénétration n'ait pas été assez intime entre philosophes et savants, la philosophie mathématique du xix* siècle n'a pas su en recueillir simultanément le bénéfice. Tandis que les philosophes prolongeaient le débat sur les formes a priori ou sur les faits généraux de la mathématique, c'est-à-dire sur des principes définis une fois pour toutes, réfractaires à l'élargissement sans fin de la recherche scientifique, l'arithmétisation de l'analyse ou la théorie des ensembles infinis avaient pour résultat immédiat de ressus-

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<il(M- le débat scolastique du nominalisme et du réalisme.

C'est ;\ la philosopliie de l'intuition que revient le mérite d'avoir rompu le charme. Après avoir, en réaction contre l'esprit (le la mathématique, rendu la vie et la liberté aux disciplines dites supérieures, il lui est arrivé de libérer et de vivifier les mathématiques elles-mêmes. Plus exactement, elle leur a restitué cette puissance intérieure que le xvii*^ siècle leur avait attribuée lorsque Descartes engendrait, par un « mouvement continu et ininterrompu », de l'esprit le monde des représentalions géométriques, lorsque Leibniz rattachait la genèse de l'univers au « progrès ordonné » delà sagesse divine.

L'intellectualisme mathématique est désormais une doctrine positive, mais qui intervertira les formules habituelles du positivisme ; au lieu de faire sortir le progrès de Vordre^ ou le dynamique du statique, il tend à faire de l'ordre logique le produit du progrès intellectuel. La science à venir n'est pas enfermée, comme l'aurait voulu Comte, comme le voulait déjà Kant, dans les formes de la science déjà faite'; la constitution de ces formes révèle un dynamisme originel dont l'élan se prolonge par la génération synthétique de notions de plus en plus compliquées.

Aucune spéculation sur le nombre, considéré comme catégorie a priori, ne permet de rendre compte des questions qui se sont posées pour la mathématique moderne, à commencer par l'arithmétique elle-même. Ce n'est pas seulement l'énoncé des problèmes qui échappe à toute règle préalable: c'est encore la signification de ce que l'on doit entendre par solution. Pour prendre un dernier exemple, Hermite écrivait, en 1858, dans une note sur la résolution de Véquation du cinquième degré : u On peut... concevoir la question de la résolution des équations algébriques sous un point de vue différent de celui qui, depuis longtemps, a été indiqué par la résolution des équations des quatre premiers degrés et auquel on s'est surtout attaché. Au lieu de chercher à représenter par une formule radicale à déterminations multiples le système des racines si étroitement liées entre elles lorsqu'on les considère comme fonctions des coefficients, on peut, ainsi que l'exemple en a été donné dans le troisième degré, chercher, en introduisant des variables auxiliaires, à obtenir les racines séparément exprimées par autant de fonctions distinctes et uniformes relatives à ces nouvelles variables -. »