Œuvres, t. 11, 1908, p

Et un demi-siècle après, M. Poincaré s'exprime de la façon suivante dans sa conférence au Congrès de Borne : « Autrefois on ne considérait une équation [différentielle] comme résolue que quand on en avait exprimé la solution à l'aide d'un nombre fini de fonctions connues ; mais cela n'est possible qu'une fois sur cent à peine. Ce que nous pouvons toujours faire, ou plutôt ce que nous devons toujours chercher à faire, c'est de résoudre le problème qualitalivement pour ainsi dire, cest-à-dire de chercher à connaître la forme générale de la courbe qui représente la fonction inconnue* ». De la solution de ce problème qualitatif dépendra le succès des recherches quantitatives, qui permettront de calculer l'inconnue avec plus ou moins de commodité, avec plus ou moins de précision.

Ce que nous avons dit du nombre pourra se dire aussi de l'espace. En déterminant avec les seules ressources de l'analyse philosophique les propriétés essentielles de l'espace, on n'aurait pas la raison des services que la mathématique lui a demandés. L'espace reçoit passivement, il traduit et il illustre, des formes de connexion qu'il n'a pas créées lui-même, qui dépassent l'apport spontané de l'intuition spatiale. Ceci est visible et frappant dans l'œuvre des mathématiciens mêmes qui ont appuyé leurs découvertes sur la représentation géométrique : Descartes, pour faire correspondre des courbes aux équations algébriques de degré supérieur au troisième, rompt avec la corrélation qui s'était tout naturellement établie entre les degrés de l'équation et les dimensions de l'espace; Fourier, en exprimant par des séries trigonométriques les fonctions dites arbitraires, brise le cadre de la continuité analytique, que l'on pouvait croire au xviii* siècle imposé par la forme nécessaire de l'image spatiale. En définitive, aux yeux du géomètre moderne, l'espace ne fait qu'affirmer la possibilité d'appliquer sur une multiplicité d'éléments quelconques des relations dont l'intelligence ne cherche pas à déterminer d'avance le type, dont elle constate, au contraire, dont elle suscite le développement illimité.