LES POSTULATS

53. — Si telle doit être la Logique de la Géométrie, il faudra que les objets géométriques, préalablement définis, subissent pour la plupart un traitement qui les rende maniables par cette logique, et c'est à quoi sont destinées les trois premières

i. Conférences sur les Mathématiques (Chicago, 1893), Irad. Laugel, 1898, p. 41.

2. Ka; èàv iTO'.ç To-a irpoï-iôv;, rà oXa èttIv Xqx. Kal ààv à.Tzh '((jm-i Ina. àsa'.pcôy), ta xcfTa),£'.7T:ô[j.£vâ iîT-.v ".nx. Il' est à remarquer que la formule est déjà dans Aristote, I An. I, 24-41" 21 (Ileiberg, op. cii., p. 5) : àub -wv ïo-wv itwv isa:poyij.Évfov îcra 'i.i:T.i's^x:\ cf. Met. K, 4, 1061" 20.

demandes, dont la simplicité risque de dissimuler l'importance. T. — Qu'il soit demandé de mener d'un point quelconque à un point quelconque une ligne droite.

II. — Qu'il soit demandé de prolonger en ligne droite et en continuité une droite limitée.

III. — Qu'il soit demandé de décrire un cercle de centre quelconque et de distance [c'est-à-dire de rayon] quelconque.

Par le premier postulat, et bien qu'à vrai dire Euclide n'ait pas explicité Vunicite' de la droite qui joint deux points donnés', la droite devient la distance entre deux points de telle sorte que la congruence des deux extrémités permettra de poser l'égalité des deux droites.

Par le second postulat est rendue possible l'addition do deux éléments géométriques.

Le troisième a une double portée : il établit l'existence de la figure circulaire dont la détinition indiquait seulement cette propriété d'avoir tous les points de sa périphérie à égale distance du centre; et de cette propriété il tire l'instrument par excellence de l'activité scientifique. En traçant d'un point donné une circonférence, onobtient dans toutes les directions que l'on voudra une ligne égale; on peut ainsi substituer à l'égalité statique de superposition l'égalité mouvante du rayon.

Que ces postulats soient la cheville ouvrière de la science euclidienne, c'est ce que manifeste déjà la première proposition des Éléments. Cette proposition est un problème : sur une droite donnée construire un triangle équilatéral. La solution du problème est immédiate si de chacune des extrémités de la droite on décrit un cercle ayant pour rayon la longueur même de cette droite. Alors on voit sur la figure, du moins Euclide admet sans autre explication^, que les deux cercles se rencontrent; si, en

1. « Euclide, faute d'une idée distinctement exprimée, c'est-à-dire d'une définition de la ligne droite (car celle qu'il donne en attendant est obscure, et ne lui sert point dans les démonstrations), a été obligé de revenir à deux axiomes, qui lui ont tenu lieu de définition et qu'il emploie dans ses démonstrations; l'un que deux droites n'ont point de partie commune, l'autre qu'elles ne comprennent point d'espace. » (Leibniz, Nouveaux Essais, IV, chap. 12, §6.) Ces deux prétendus axiomes qui appartiennent à la « Vulgate » des Éléments sont regardés aujourd'hui comme des interpolations dans la rédaction originale d'Euclide. Le 2" axiome est emprunté au texte de la démonstration donnée pour le théorème IV du 1" livre : o-jo z'Jitïoa -/uptov TiEp-.éHo'jaiv o-Ktp èttiv àSjvKTov. Ed. lleiberg, t. I, 1883, p, 18: il a été aussi considéré comme postulat, et, à ce titre, il devait jouer un rùle considérable dans le développement de la géométrie non euclidienne (vide infra, § 191).

2. Cette lacune a été signalée peut-être pour la première fois par Leibniz. Parmi les ■< endroits » que Clavius a omis de corriger chez Euclide « un des

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vertu du postulat premier, on joint l'un des points de rencontre aux extrémités do la droite donnée, on obtient un triangle qui satisfait aux conditions du problème. La possibilité du triangle équiiatéral est donc démontrée. En termes modernes, nous dirons qu'à la description logique énonçant le genre et Tespèce nous avons ajouté un théorème d'existence.

Or le procédé est absolument général '; il est fondé sur la méthodologie propre à la mathématique suivant les anciens. Aristote disait : le géomètre suppose la signification du triangle, mais il en fait voir l'existence : t-' viv yàc TTiaa-'vEi tô Tpiyojvov, £).ap£v ô Y^wu-ÉTOYi;, oTi 5'e(jTiv oîixv'jî'.v -. Ainsi, sans recourir à l'hypothèse ontologique qui était la vertu occulte, ou le vice caché, de la logique aristotélicienne, la géométrie est capable de conférer à ses définitions nominales la valeur d'une définition réelle^; c'est par là qu'elle est autre chose que l'instrument d'un raisonnement formel, elle devient une science véritable.

plus rpinarquablos et des moins remarqués se rencontre d'abord dans la démonstration de la première proposition du premi<!r livre, où il suppose tacitement que les deux cercles qui servent à la construction d'un triangle équilatère, se doivent rencontrer quelque part, quoiqu'on sache que quelques cercles ne se sauraient jamais rencontrer ». (Gerhardt, Phil. Schr., t. VII, Berlin, 1890, p. 166.)

1. Zeuthen, Die geornelrische Construction als • Existenzbeweis » in der antiken Géométrie. Malhematische .Vunalen, t. XLVll, 1896, p. 222 et suiv.

2. II \n. II, 7-92" 13 (llciberg, op. cit., p. 7). Cf. Pascal : Lettre à M. le Pailleur (1648). « Il est évident qu'il n'y a point de liaison nécessaire entre la définition d'une chose et l'assurance de son être; et ({ue l'on peut aussi bien définir une chose impossible qu'une véritable. Ainsi on peut appeler un triangle rectiligue et rectangle celui qu'on s'imaginerait avoir deux angles droits, et montrer ensuite qu'un tel triangle est impossible; ainsi Euclide définit d'abord les parallèles, et, montre après qu'il y en peut avoir, et la définition du cercle précède le postulat qui en propose la possibilité. » Œuvres, éd. L. Brunschvicg et P. Boutroux, t. 11, 1908, p. 183.

3. Ilobbes avait fort bien compris la signification des postulats euclidiens : « ea quœ postulata et petitiones appellantur, principia quidem rêvera sunt, non tamen demonstrationis, sed constructionis, id est non scientiœ, sed poteatiœ; sive quod idem est, non Iheoreniatum quaî sunt specuiationes, sed problematum quœ ad praxim et opus aliquod faciendum pertinent. » {De Corpore, chap. VI, § 13, Op. latina. Ed. .Molesworth, Londres, t. I, 1839, p. 72.) Corrélativement à cette conception, il distingue deux ordres de définitions : celles qui évoquent dans l'esprit l'idée de la chose désignée par le mot, celles qui, portant sur le nom des choses susceptibles d'avoir une cause, contiennent ou leur cause ou, tout au moins, leur mode de généralioii : ■< veluti cum circulum deflnimus esse figuram natam ex circumlatione iineie rectœ in piano. » (Ibid.) Celte conception, conforme à des indications de Descartes (infra, § 70), est aussi celle qui se retrouvera dans le Tractatns de Reformalione intellectus de Spinoza {infra, § 90; cf. Lettre à Tschirnhaas, L.K (64), éd. von Vloten et Land, t. II, La Haye. 1883, p. 212), et il est permis do soupçonner un lien d'influence directe (Cassirer, i)a.s Erkenntnisprobleni in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit, t. II, 2* édit., Berlin, 1911, p. 98). De là, elle a passé chez

54. — Ce n'est pas tout encore : dans le développement de la géométrie métrique, Euclide rencontre deux notions qui sont nécessaires pour édifier le système de la géométrie plane et qui ne peuvent pas être considérées, du moins avec leurs caractères utiles pour le géomètre, comme conséquences de vérités déjà acquises; ces notions sont celles de perpendiculaires et de parallèles. Plus exactement, aux deux notions de perpendiculaires el de parallèles se rattachent deux faits géométriques qui ne sont pas susceptibles de démonstration, qui doivent être introduits à titre de données naturelles, et qui fourniront deux nouveaux/Jos/«/a/s,

Le premier concerne les perpendiculaires : tous les angles droits sont égaux. A vrai dire, il peut paraître étrange qu'Euclide formule \me pareille proposition, après avoir défini l'angle droit à l'aide de la construction qui, faisant tomber une droite sur une autre, détermine deux angles adjacents égaux; c'est par l'égalité de ces deux angles qu'il arrive à concevoir le caractère spécifique de l'angle droit. Mais si, comme le demande Zeuthen, on porte son attention sur l'application qui est faite de ce postulat ', on comprend que dans la pensée d'Euclide il a pour signification d'énoncer la réciproque de la définition, c'est-àdire que, si deux angles droits sont adjacents, les droites situées de part et d'autre du côté commun sont sur le prolongement l'une de l'autre. La condition d'unicité, qui avait été sousentendue dans la conception de la ligne droite, est ici explicitée,

A la définition des parallèles se rattache de la même manière un postulat. Pour Euclide des lignes droites sont parallèles lorsque, situées dans un môme plan et prolongées de part et d'autre à l'infini, elles ne se rencontrent d'aucun côté; définition singulière, si même elle n'est pas contradictoire, puisqu'elle repose sur une propriété qui est par sa nature à la fois relative à l'intuition et placée au delà des limites de toute intuition effective. Mais cette définition, qui est manifestement un essai de description, une formule de dictionnaire, ne comporte aucun usage géométrique. Suivant la conception que Zeuthen a si net- Leibniz : « notio circuli ab Euclide proposita quod sit figura descripta motu rectœ in piano circa extremuin inimotuni, definitionem praebet realem, patet enini talem figuram esse possibilem. » {De Synthesi et Analysi aniversali, seu Arie inveniendi et judicandi. Gerhardt Phil. Schr., t. VII, Berlin, 1890, p. 294.) 11 est à remarquer d'ailleurs que Leibniz trouvait dans cette conception de la définition réelle la réfutation du nominalisme absolu, tel qu'il croyait le rencontrer chez Hobbes {Ibid.; cf. Couturat, La Logique de Leibniz, 1901, p. 190, n. 2).

1. Prop. XIY du livre 1; cf. Zeuthen, op. cit., tr. Mascart, p. 101.

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tenienl mise en lumière', les Grecs, pour fonder d'une façon positive les raisonnements relatifs aux parallèles, ont besoin d'une proposition d'existence; or le postulat des parallèles chez Euclide est un théorème indiquant les conditions dans lesquelles il existe un point (rinterscclion entre d(Hix droites rencontrées par une troisième : « Qu'il soit demandé que si une droite rencontrant deux droites (situées dans un même plan) fait d'un même côté des angles intérieurs dont la somme soit moindre que deux droits, les deux droites prolongées indéfiniment se rencontrent du r(Mé dont la somme est inférieure à deux droits^ ».