Art. cité, p. 22o et suiv

2. Postulat V, Kai âàv el; ôûo £-J6ê;aç s-jôs^a ÈfiTtt'itTOUo-a -ràç èvtô; xal ini tk aùtà [/.ipïi ywviaç S-Jo ôpôwv èXio-aova; Tioivi, èxpaXAO[;.Éva; xàç £uo e-JÔetaç iiz' aiï£!pov 0"u(j.uÎii:t£'.v, £9' à ]J.£pr^ zWv/ al -rtov ô-jo opStiJv IXiaCTovEç.

.3. Def., III, Aôyoç Èaxi o-jo (j.£Yî6wv Ô[jloyîvwv -r, y.a-à 7:rj).'.xÔTr,Ta Tcoia ayérj'.z. 4. Cantor, P, p. 00. Cf. P. Tannery, La Géométrie grecque, 1887, p. 92, el Zeuthen, Histoire des Mathé/natiques dans l'Antiquité, tr. Mascart, p. 4.

mensurables avait entraînés, se donna la tâche d'extraire de Tensemblc des vérités alors connues de la géométrie les éléments de la théorie des proportions, et de les réunir en un corps de doctrine autonome ^ L'œuvre d'Eudoxe explique l'ordonnance des Éléments. Euclide sépare avec soin, du moins dans l'exposition de la géométrie plane, ce que nous appellerons la géométrie métrique directe, et la théorie des proportions. D'une part dans les quatre premiers livres il s'est interdit tout mode de démonstration qui impliquerait un appel à la similitude géométrique; il a refait, à ce point de vue, la démonstration traditionnelle du théorème de Pythagore -. D'autre part, en réservant la similitude des triangles, des parallélogrammes, etc., pour le livre V^I, qui suit immédiatement le livre sur les proportions, il semble l'aire de cette étude purement géométrique l'application d'une science de la proportionnalité en général. Ce n'est pas tout : au livre Y, les termes des proportions étaient figurés par des lignes, sans qu'il fût tenu compte de la différence entre grandeurs commensurables et grandeurs incommensurables. Au livre VII, l'étude des proportions est reprise, mais sur le terrain proprement numérique : « les propositions sur les proportions y prennent un nouveau sens parce que ici il ne s'agit pas seulement de l'égalité des rapports, mais aussi de la possibilité de les réduire aux mêmes plus petits termes ^ ».

Avec le livre X, Euclide aborde les incommensurables; il expose le classement des irrationnelles fournies « par les constructions géométriques... avec leurs propriétés non seulement pour l'équation du second degré et pour l'équation bi-carrée à coefficients rationnels, mais même en partie pour l'équation tricarrée '' ». Cette étude est comme une introduction pour la géométrie dans l'espace, à laquelle sont consacrés les livres suivants. La détermination des éléments des polyèdres réguliers au livre XIII, fournira l'application de la théorie des irrationnelles, qui a été posée au livre X '.

56. — Sous le désordre apparent de l'exposition, la science euclidienne implique une théorie générale des grandeurs, une