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ai'illimélique universelle . Si donc nous prolongeons parla pensôo riiisloiro dans le sens où, suivant nos idées modernes, elle nous parait nalurelleinent orientée, nous attendrions «pie le développement de la science euclidienne eût pour conséquence la réaction de la forme rationnelle et déductive sur le contenu encore inorganique. Non seulement les théories analoj^ues de la géométrie plane et de la géométrie dans l'espace auraient naturellement dû être rapprochées. Mais surtout, de ces livres qui traitent successivement des similitudes géométriques, des rapports numériciues, des grandeurs incommensurables, devait se dégager explicitement l'unité dont l'auteur des Éléments ne pouvait pas ne pas prendre conscience au moment où il les disposait à la suite les uns des autres. En d'autres termes, la matière d'une logique des relations se trouve rassemblée dans les Éléments d'Euclide; et puis(|ue nous avons relevé, dans le choix des principes et des méthodes, leur parenté intellectuelle avec les Analytiques d'Aristote, il semble qu'en face de l'œuvre où la logique des classes se trouve constituée sur ses bases définitives, il appartenait aux continuateurs d'Euclide d'établir sous sa forme propre la logique des relations.

En fait le désordre qui nous choque aujourd'hui dans l'œuvre d'Euclide S a passé inaperçu pendant des siècles. Les Éléments, où nous démêlons comme dans les cathédrales du moyen âge, l'apport successif des générations et la diversité des styles, ont donné l'impression de l'œuvre homogène par excellence. Il faut aller jusqu'au xviT siècle avant de rencontrer une tentative pour réorganiser les Éléments suivant le vrai sens de la Logique. Dans les Nouveaux Eléments de Géométrie qui ont été publiés en 1667, et qui sont l'œuvre d'Arnauld -, le livre premier est consacré aux « grandeurs en général » et aux quatre opérations. Au livre cinquième seulement Arnauld commence à parler de l'étendue, de la ligne droite et circulaire, etc. Or, comme le montre le livre IV de la Logique où des extraits du Discours de la méthode (et, à partir de la seconde édition, des Regulse) servent d'introduction et de base à la critique de l'ordre suivi par Euclide dans les Eléments, la refonte de la géométrie élémentaire est, dans l'esprit d'Arnauld, la conséquence de la révolution cartésienne.

1. Voir dans L'Easeig-nomenl nitathématiquo du 1.d mars 1904 l'article intitulé : Justification des procédés et de l'ordonnance de mes Nouveaux Éléments de Géométrie, par Ch. Méra\', p. 90 et suiv.

2. Voir l'analyse détaillée de Karl Bopp, Antoine Arnauld, der grosse Arnauld, als Mathematiker, Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik, Leipzig. Fascicule XIV, 1902, p. 233 et suiv.

Ainsi, quoique les Éléments (et cela deviendra plus manifeste encore \yA\'VEslhélique transcendanlale de Kant, qui se meut tout entière dans les limites de la science euclidienne) soient gros d'une philosophie de la mathématique, Tantiquité n"a pas efïectivementdég-agé cette philosophie. La mathématique est demeurée dans l'état de transition et d'hétérogénéité où Euclide Tavait laissée. Des découvertes admirables qui devaient faire d'Euclide, d'Archimède, d'Apollonius, de Diophante, les initiateurs de la renaissance scientifique et les éducateurs de la pensée moderne, l'antiquité ne s'est pas souciée de rechercher l'extension à la science universelle de la nature ou à l'analyse de la pensée humaine. Respectueuse des cadres tracés par Aristote, sa curiosité spéculative se bornait à définir la catégorie à laquelle ressortissait l'objet de ces recherches. A cet égard, rien n'est plus significatif que la discussion, conservée dans les commentaires de Proclus, sur la nature de l'angle ^ Euclide était considéré comme rattachant l'angle à la catégorie de relation^ parce qu'il le définissait Vinclinaison d'une ligne ou d'une surface par rapport à une autre ligne ou par rapport à une autre surface. Eudème, philosophe péripatéticien, y voyait une qualité: V affection de la surface ou du solide consistant dans la rectitude ou dans Vobliquité. Enfin, pour Plutarque, pour Apollonius, pour Carpus d'Antioche, c'était une quantité {soit surface, soit solide) comprise sous une ligne ou une surface réfléchie autour d'un point, mesurant en quelque sorte la distance des deux parties de cette ligne ou de cette surface -. Proclus, fidèle à l'enseignement de Syrianus, et en bon néo-platonicien, synthétisait toutes ces définitions et faisait participer l'angle à la nature des diverses catégories.

57. Une telle cristallisation, une telle stérilisation de la pensée géométrique nous paraît aujourd'hui singulière. C'est qu'en réalité nous sommes pour les Grecs plus ambitieux qu'ils ne l'ont été eux-mêmes. L'idée d'une logique qui ferait sortir de l'esprit humain la connaissance des choses, qui engendrerait la vérité par ratiocination pure, a pu, dès la fin du moyen âge, être suggérée par le crédit de Yorganum aristotélicien; nous avons vu qu'elle est étrangère à la pensée d'Aristote lui-même. C'est sur les données des classifications naturelles, érigées sans doute en entités métaphysiques, que la logique d'Aristote s'est constituée; elle aura la prétention de mettre de l'ordre dans ces