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la repiH'^senlalion géométrique; d'où la complication et la difficulté de la science apollonicnne '.

Aussi ce ful-il un trait de génie que de donner à l'usage des coordonnées la forme la plus simple possible en n'employant que des coordonnées rectangulaires, et d'autre part de mettre en évidence la nature auxiliaire et mélhoditjue de ces coordonnées en les appliquant à des sortes de grandeurs qui ne pouvaient se confondre avec leur représentation géométrique, telle que par exemple la chaleur. L'honneur en parait appartenir à un savant français du xiv*^ siècle, Nicolas Oresme. Le Tractatus de latitiidinibus formariim (dont rinfluence fut grande et durable à ce point que, dès la découverte de Timprimerie, quatre éditions s'en succédèrent, de 1442 à iolo), enseigne à représenter les varialions de quelque grandeur que ce soit en transportant sur une surface plane les lignes de repère qui avaient été jusque-là tracées sur une sphère. Les degrés du phénomène naturel se figurent par l'ordonnée, et constituent ainsi ce que Nicolas Oresme appelle latitude de la forme; la longitude, c'est-à-dire la ligne des abscisses, figure les temps correspondants. La courbe déterminée par les points d'intersection est le graphique des varialions d'intensité que le phénomène a subies en fonction du temps -.

63. — De même, nous qui sommes avertis par la constitution de l'algèbre, nous reconnaissons dans l'arithmétique de Diophante d'Alexandrie quelques-uns des traits essentiels du symbolisme opératoire. Les abréviations utilisées pour la désignation de l'inconnue et de ses puissances, la mise en équation de la relation entre cette inconnue et les quantités déterminées du problème, l'indépendance à l'égard des représentations géométriques, l'emploi systématique de ce qu'on appellera la règle de fausse position ', suggèrent l'idée d'une science qui se constitue sous une forme abstraite et tend à des solutions générales.

1. « Ce qui manque aux Mathématiques grecques, dit Paul Tannery (dans une remarque sur l'Arithmétique pythagoricienne, que Zeutheu a prise pour épigraphe de son ouvrage Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum. (éd. allemande. Copenhague 1886), ce sont moins les méthodes... que des formules propres à l'exposiliou des méthodes. - Bulletin des sciences mathématiques, 1885, p. 86.

2. Canlor, II-, p. 130. Voir les premières lignes du manuscrit de Thorn : De latitudine forniarum magistri Nicholai Horen, étudié par Maximilian Curtze, Zeitschrift fur Mathematik und Physik, t. XIII, SuppL, p. 92 : « Quia formarum latitudines multipliciter variantur et multiplicitas difficillime discernitur aisi ad figuras geometricas consideratio referatur. Ideo premissis quibusdam latitudinum divisionibus cum suis diffltionibus infinitas species earundem demum ad inflnitas species flgurarum applicatio ... clarius apparebit. »

3. Vide supra, § 17, et Zeuthen, op. cit., Ir. Mascart, p. 206, et suiv.

Mais il restait un pas décisif à franchir : il fallait débarrasser ces procédés opératoires de la restriction qui leur était imposée par la nécessité de l'application numérique. Et c'est à quoi on parvient grâce à l'usage des signes littéraux pour désigner les notions indéterminées sur lesquelles porte le raisonnement. On retrouve ainsi, avec le procédé qui était constant dans les Analytiques d'Arisloie^, la conception philosophique qui s'y trouve associée. L'arithmétique, dit Viète, est une méthode opératoire sur les nombres : Logislica numerosa ; V Algèbre est une méthode opératoire sur les espèces ou formes des choses : Logistica spe^ ciosa^. Seulement, tandis que dans la logique formelle, dans la logique des espèces, cet usage demeurait passif et inerte, puisque les choses signifiées, individus ou substances, possèdent en propre des qualités qui ne peuvent passer dans les signes pour les représenter, il devient dynamique et fécond dans la « logistique des espèces» ; les lettres expriment des quantités dont la nature ne consiste qu'à se combiner suivant les lois de la mathématique. Tous les procédés dus aux algébristes du moyen âge et du xvi"" siècle, recueillis et étendus par Viète, viendront se ranger sous les lois de Vanalyse spécieuse, sans que Viète pourtant ait disposé d'un langage suffisamment général pour réduire les différentes particularités d'une équation d'un même degré à la forme d'une équation type^, sans qu'il ait tiré de ses découvertes et de ses théories « un corps parfait* ».

64. — Assurément la découverte de la géométrie analytique n'appartient ni à Oresme ni à V^iète, bien que le premier ait inventé la méthode des graphiques, bien que le second se soit perpétuellement servi de son algèbre pour résoudre des problèmes de géométrie et qu'il ait ainsi pratiqué ce qui littéralement mériterait mieux que ïlsagoge ad locos, ou que la Géométrie de 1637, le nom de géométrie analytique. Du moins

1. Cf. Paul Tannery : Sur l'Arithmétique pythagoricienne, art. cit., Bulletin des sciences nialhéaialiques, 1885, p. 86 : « Quand on étudie dans Aristote le symbolisme des lettres employées pour représenter des objets de la pensée, on doit se dire qu'il ne fallait alors qu'un pas aux Grecs pour arriver à l'algorithme de Viète ».

2. In artem analyticam Isagoge, 1391, § 4, Ed. Schooten, Leyde 1646, p. 4.

3. Cf. Liard, Descartes, 1882, p. 58, et Pierre Boutroux, L'imagination et les mathématiques selon Descartes, Bibliothèque de la Faculté des lettres de l'université de Paris, X, 190Û. App. I. L'analyse de Viète et celle de Descartes au point de vue du rôle de l'imagination, p. 37 et suiv.

4. Descartes, Lettre de juin 1643, Edit. Charles Adam et Paul Tannery (que nous désignerons dans la suite par AT), t. IV, p. 228.

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ont-ils porté les matériaux de la science nouvelle à un tel degré de p(M lection que ravènement en a pris un caractère de nécessité iotJiquo. Du moment que les (irecs avaient su se servir de la g-éométrie métrique pour déterminer des types de relations générales entre les grandeurs, la découverte de Fermât devait se produire, comme les pratiques des astronomes grecs devaient conduire à l'emploi sysfémaliquc de la Irigonométrie, comme l'étude simultanée de la progression arithmétique et de la progression géométrique impliquait le calcul logarithmique. El les trois disciplines auront à peu près la même portée : elles apparaîtront comme le complément, comme la définitive mise au point, de procédés lentement élaborés. En terminant Vlsagoge, Fermât qui avait « rétabli et démontré les deux livres d'Apollonius Perganis des lieux plans » exprime le regret de n'avoir pas disposé à ce moment d'une méthode qui lui eût donné sans doute le moyen de rendre plus élégantes les constructions de ces lieux géométriques '. En fait la géométrie analytique a servi surtout à perfectionner la théorie des sections coniques jusqu'au moment où le progrès des recherches infinitésimales a permis de transporter sur un nouveau terrain le principe de la correspondance entre les courbes et les équations, et d'en étendre ainsi la fécondité.

Section B. — La mathématique universelle de Descartes et la Physique.

l'idée de la mathématique universelle

65. — La genèse de la géométrie analytique de Fermai éclaire dans une certaine mesure la philosophie mathématique de Descartes. Suivant, en effet, la quatrième des liegulse ad directionem ingenii^ et la seconde partie du Discours de la Méthode^, deux disciplines sont exceptées de la fin de non-recevoir que Descartes oppose systématiquement à la philosophie et à la science telles qu'elles lui avaient été enseignées; c'est l'arithmétique et la géométrie. Sous leur forme élémentaire : arithmétique de Pythagore et géométrie d'Euclide, ces sciences sont les

1. Paragraphe final de ïlsagoge : « Haec inventio si libres duos de locis planis a nobis dudum restitutos prœcessissot, elegantiores sane evasisseut localium theorematum constructiones. » TH, t. I, p. 103.