LES « REGULEE » ET LA « GÉOMÉTRIE

71. — L'élément mathémati([ue sur lequel s'appuie le système cosmologique de Descartes n'est autre que la dimension spatiale; il participe aux caractères de l'étendue, et les caractères de l'étendue sont de ceux qui en raison de leur irréductibilité à l'esprit attestent l'existence d'un ordre de substances distinct de l'ordre des substances spirituelles; la dimension spatiale est un objet que l'intelligence se représente comme lui étant extérieur et qui s'accompagne naturellement d'un effort de l'imagination. En ce sens la mathématique universelle est une extension des méthodes géométriques à l'universalité des problèmes de la mécanique, de la physique, de la biologie ou de la psycho-physiologie. Mais il est clair qu'en elle-même, cette extension peut ne rien changer à l'idée qu'on se formait de la technique propre à la mathématique.

1. •■ Rêvera extensio ia longum, latum et profundum quœ spatium conslituit eadem plane est cum illa quœ constituit corpus. » Principia Philosophix II, § 10, AT, VIII, (i), 43.

2. Ibid., IV, § 199. AT, VIII, (1), 323, (2)-, tr. franc, t. IX, p. 317.

o Brunschvicg. — Les étapes.

Au contraire la Géométrie de 1637 opère une transformation des méthodes techniques de la Géométrie et de TAlgèbre. Quel a été le trait essentiel de cette transformation au jugement de Leibniz, le critique certes le moins indulgent, le plus enclin même a restreindre la portée de la révolution cartésienne, à tourner en accusations injustes de plagiat les inévitables ressemblances que Toeuvre d'un grand mathématicien peut offrir avec les idées partielles de ses prédécesseurs ou de ses rivaux? La réponse précise à cette question est dans une lettre, vraisemblablement destinée au Journal des Savants : « Ceux qui sont assez entrés dans l'intérieur de l'Analyse et de la Géométrie savent que Descartes n'a rien découvert de conséquence dans l'Algèbre, la spécieuse en elle-même étant de Viète, les résolutions des équations cubiques et quarrées-quarrées étant de Scipion du Fer et de Louys de Ferrare ', la genèse des Equations par la multiplicité des équations égales à rien étant de Harriot Anglais, et la méthode des tangentes ou de maximis et de minimis étant de M. Fermât, de sorte qu'il ne lui reste que d'avoir appliqué les équations aux lignes de Géométrie des degrés supérieurs, que Viète, prévenu par les anciens qui ne les tenaient pas pour assez géométriques, avait négligés -. »

Dès le premier livre de la Géométrie, Descartes dégage de la façon la plus claire cette conception originale : « Il est à remarquer que par a^ ou b^ ou semblables, je ne conçois ordinairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usités en Algèbre, je les nomme ou des carrés ou des cubes, etc. »

72. — Cette conception se rattache assurément à l'idée de la mathématique universelle qu'exposent les Begulœ; mais, chose curieuse, elle n'est pas formellement exprimée dans les Regulse. Il est même à remarquer que dans les dernières pages qu'il en a rédigées. Descartes semble tourner le dos à cette conception : il « propose dans la règle XVIII, de figurer par la surface d'un rectangle le produit de deux facteurs » ^. Pourtant, il n'est guère douteux que Descartes n'ait pratiqué, dès les premiers temps de son activité intellectuelle les procédés dont devait sortir la géométrie analytique; la découverte de ces procédés devait entrer pour une bonne part dans l'enthou-

1. Sur les travaux de Scipione del Forro et Lodovico Ferrari, voir Cantor IP, 482 et 490. Descartes rappelle le nom et l'invention de « ScipioFerreus » au 111'= livre de la Géométrie (AT, VI, 472).