L'ESPRIT DES

fjuatpe ou cinq gTaiuls matlirmaticiens, mais il avoue dans une" (le ses lettres qu'il s'aj)erçut un jour qu'il avait oublié la manière d'extraire une racine carrée et qu'il dut reconstruire la théorie. L'examen ne lui en eut pas donné le temps : il eut piteusement échoué. Nos livres élémentaires sont donc devenus de parfaits manuels de candidats : c'est le pire éloge qu'on en puisse l'aire.

Arago raconte que le grand Ampère, quand il revenait d.» Paris après une tournée d'inspection générale, rapportait toujours un bagage d'inventions et de vérités nouvelles. Voici comment les choses se passaient : entrez avec rinspecteuidans une classe de mathématiques ; un seul mot, vrai ou faux, de l'élève qu'il interroge jette l'inspecteur dans des routes inconnues qu'il explore avec une étonnante perspicacité; il pense, il trouve, il invente, il oïd^lie les élèves et le professeur. C'est ensuite son innocente manie de désigner ses découvertes par leur lieu d'origine : la théorie d'Avignon, la démonstration de Grenoble, la proposition de Marseille, le théorème de Montpellier ^iennent enrichir ses cours d(^ l'École polytechnique et du Collège de France. Le génie a ses immunités et l'enseignement supérieur ses privilèges. Mais si les professeurs de l'enseignement secondaire procèdent ainsi pour les vérités qu'ils ont, non décou^'ertes mais recueillies, quel désastre et quel encombrement dans les cours et dans la science ! Qui ne sait se borner ne sut jamais enseigner.

Le géomètre Poisson disait qu'il y a en géométrie quatre méthodes : méthode de superposition, méthode de réduction à l'absurde, méthode des limites, méthode infinitésimale. Je n'ai aucune qualité pour discuter l'usage de ces quatre méthodes : cela passe ma compétence et c'est aux géomètres à nous dire ce qu'il peut y avoir de vrai dans le paradoxe du

père Gratry, que la méthode des infîniments petits introduite dans renseignement même élémentaire, « c'est la lumière introduite dans la masse, c'est la vitesse substituée à la lenteur ». 11 y a évidemment, dans la technique de la science et de renseignement, des points importants que les seuls mathématiciens de profession peu^ ent fructueusement discuter : je ne pénétrerai pas dans le sanctuaire. Mais la logique gouverne les mathématiques comme tout le reste, j'entends la logique que nos pères définissaient « Fart de bien conduire sa ijiison dans la recherche de la vérité, tant pour s'en instruire >oi-môme que pour en instruire les autres ». Cette logique est de notre compétence. A la suite de M. Laisant, je puis donc examiner trois points essentiels de l'étude des mathématiques : l'initiation empirique, renseignement direct, l'enseignement par les applications aux autres sciences.

1** J'ai déjà indiqué ce qu'il y a de singulier et de rassurant, je ne dis pas le moins du monde d'inattendu, dans ce fait que, |)eu de temps après avoir publié V Enseignement intégral ^ j'ai eu le plaisir de trouver dans le livre de M. Laisant la confirmation de mes idées sur le point qui me tenait le plus à cœur, et je puis bien l'avouer, qui m'inf[uiétait le plus. ()u'un livre de ce genre et de cette valeur paraisse sur chacuncî des sciences de la série didacti([ue cl ma cause est gagné(^ : l'enseignement méthodique, |)hilosophique des sciences est fondé. Cette rencontre m'a causé une des plus \ives éniolions intellectuelles (pie j'aie épr'ouvées di» ma

loul <'nseignomenl théorique dt\s mathémati(pies présuppose un (h'essagc antérieiu*, un enipiiisme préalable, une tontine accpiise. Il faut que 1 élève soit d'abord rompu à toutes les diiïicultés non pas élémentaires, mais rudimentaires du «alcul, des opérations soit mentales soit écrites. C'est le rôle,

011 s'en somiciit, (jiic nous îwoiis assigné à renseignemont j)i*iniaii'e plus ou moins coniplrté |)ar renseignement prinuiii-e supérieui* : il Iburnit la matière et renseignement secondaire la forme. Mais M. Laisant est de beaucoup pluso[)timiste : « J'ai la eonxiction l'aisonnée et apj)uyée sur des faits, dif-il. (pie de cinq à dix ans on pourrait ohtenii* de Tenfant, dans ce domaine du calcul pratique, des r-ésultuts cpii nous paraissent prodigieux et qui au fond sont tout naturels. » Par quels moyens ? Les moins scientifiques, les plus rapprochés de Fexpérience enfantine, de la vie et des jeux de Fenfant. Utilisez toutes les occasions qui se présentent, conservez même à la pratique du calcul un caractère récréatif; c'est le moyen « d'aller beaucoup plus loin qu'on ne pense ». Sans même prononcer les noms scientifiques et toujours un peu rébail)atifs de beaucoup d'opérations, mais sans les éviter non })lus systématiquement, ce qui serait une autre forme de pédantisme, on pourra initier l'enfant « à bien des calculs sur les progi'cssions par différence et par quotient, sur la formation des carrés, sur des exemples simples d'analyse combinatoire ». A plus forte raison, si nous reculons jusqu'à douze ou quatorze ans la limite de ce stage expérimental. M. Laisant rappelle que ces idées avaient été soutenues, dès 1763, par La Gbalotais dans son Essai d'éducation nationale ou plan d'études pour la jeunesse et il ajoute : « ^L^is, hélas ! que de progrès il faudrait souvent pour remonter d'un siècle et plus en arrière. Et combien est grande la déception quand on compare ce qui devrait être et ce qui est ! »

Qu'on ne prenne donc pas le change sur notre thèse et que l'on comprenne bien le caractère purement empirique de cette première initiation. Suivre une méthode rigoureusement expérimentale et ne jamais s'en départir ; laisser l'enfajit en face des réalités concrètes qu'il touche et qu'il voit, faire lui-même

ses abstractions ; ne jamais essa\'er de lui rien démontrer ; se borner à lui fournir les explications qu'il se trouvera conduit à solliciter de lui-même ; conserver enfin à cet enseignement du calcul une apparence d'amusement et non pas celle d'un travail imposé ; aux premiers symptômes de fatigue cérébrale, s'arrêter net ; éviter par- dessus tout d'associer à l'idée des mathématiques le souvenir de l'effort, de la fatigue, de l'ennui, car cette association durerait toute la vie comme il arrive quand on a parlé à l'enfant de spectres et de fantômes et que cette imprudence le rend pour toute sa vie craintif et peureux. Que de spectres et de fantômes mathématiques ont imprudemment^^yoqué des maîtres maladroits, trop pressés d'arriver au l)ut eiqui n'ont réussi qu'à faire de la science un épouvantait, un cauchemar, cette ignorance d'un genre })articulier, ignorance qui ne s'ignore pas, mais qui se glorifie d'ignorer et tire vanité de « l'inconscience mathématique ». M. Laisant convient que « tout cela semble être (hi ivnc et qu'aux yeux de beaucoup de lecteurs c'est une thèse paradoxale ». Mais il n'est que trop facile d'expliquer pourquoi les i(h'*es les plus claires, les plus rationnelles, les mieux fon- (l('('s sur- une longue expérience du professorat paraissent n'être f|ue des rêveri(\s cf {\vy> paiiuloxes. « Le malheur, c'est que la l'éformeà faire dans ce sens exigerait une transformation radicale des cerveaux et l'abandon d'habitudes invétérées. » On aurait donc tort d'accuser l'auteur d'optimisme puisqu'il ajoute « qu'aucun li\ i*e d'étude ne peut contribuer {\ hc^ter l'accomphssement » de cette réforme et qu'il s'agit justement (h' m\ jamais placer un livre dans les mains de l'enfant. >hus il faut esp(''r*ei* cpie les maîtres liront le sien. « Ce sont l(\s iMiiilîTs (ju'il fa(i(h"tiit transformer; or*, (piand on a vvvw un enseignement mal compris et déraisoiniable, il est difli<iK' (ju'on s'en rende compte plus lard. » C'esl en effet r(»\'|)licalinn

(les (litTiculk'S de toiilc ivloriiio jKMlao'()oi(jiK' ; dK' es( essence, une pétition de [)i*ineij)e ou un cercle vicieux. Pour j'eniuer le monde il ne faul (ju'un levier et un point d'appui, mais à quoi sert le le\ iei* si le point d'appui \ ient à céder ou s'il nuuupie ? « C'est pour cela qu'il s'écoulera })eut-èti'e un temj)s bien long' avant que les idées de La Chalotais rencontrent le milieu dans lequel elles sont destinées à fructifiei' et à produire les heureux résultats qu'on est assuré d'en tirer le jour où on les appliquera V » Ne l'ai-je pas dit ? legi'éco-lalinisme a plus de quatre cents ans de traditions; il bénéficie de ta longue expérience, de l'accoutumance et de la prescription ; il faudra donc envisager virilement la nécessité de créer de nouvelles traditions, en utilisant les éléments nombreux que le passé nous offre déjà. Qui serait maître de l'éducation, disait Leil:)niz , changerait la face du monde . Mais qui donc est maître de l'éducation ? Personne, sinon la routhie, qui a horreur du cliangement et l'opinion, qui est trop paresseuse pour devenir l'esprit public en s'éclairant.

2" En })assant du stage empirique au cycle théorique d(^ l'enseignement mathématique, les formes et les procédés se modifient, l'esprit même de l'enseignement ne change })as et le mot d'ordre reste le même : simplifier. Notre guide propose une innovation de détail fort ingénieuse ; c'est de décerner un prix auquel on n'a pas songé et qui ne figure dans aucun palmarès, un prix de simplification à l'élève qui a le mieux réussi, « après avoir ouvert des concours de simplicité sur un résultat géométrique à obtenir avec la règle et le compas ». J'étends le projet : déclarons ouvert un concours de simplicité entre les ouvrages destinés à l'enseignement de toutes les branches de mathématiques. Nul concours académique ne

(1) Laisant, Op. cit., p. 204.

sérail [)liis utile. Ce serait la dépense la mieux justiliée du l)udg-et de 1 instruction publique.

Simpliliei', dira-t-on, c'est bien simple : allégeons les programmes. Ce n'est pas tout à fait aussi simple ; oui, sans doute, il faut faire dans nos programmes trop touffus des coupes sombres. Il faut les réduire à de brèves indications, peut-être môme les supprimer tout à fait, parce « qu'un programme est toujours mauvais, uniquement parce que c'est un programme ». Mais si l'on n'impose pas de programme aux maîtres, toujours est-il que le maître doit se fj»ire à lui-même son programme. Ce sont donc les maîtres qu'il faut inviter à se transformer eux-mêmes, en leur laissant rinitialive et la liberté nécessaires. Il ne faut plus qu'on |)uisse dire : « Nos candidats sont prodigieusement instruits : ils savent tant de choses qu'ils n'ont le temps d'en comprendre aucune. » Et remarquez le mot candidats : en face de leurs chaires, depuis longtemps les maîtres ont, non des élèves, mais des candidats. Cela perd tout .: qui dit candidat, examen, concours, dit par cela même programme ; il faut tourner la meule les ycmx fermés; mieux vaudrait encore, comme Samsou, les yeux crevés, pour éviter toute tentativ^e d'évasion des programmes comme d'une g'eole. Il faut craindre comme le feu l'initiative et l'originalité du professeur : des deux professeurs d'Edgar Quinet, l'un au moins doit être révoqué!

Simplifier, c'est en mathématiques substituer i\ un mécanisme de théorèmes un organisme d'intuitions; plus simpleuïent présenter la science comme un organisme, c'est-à-(hre conime un « tout naturel ». C'est faire appel au jugement phi> (jii'à la iiK'moiic cl coinptci- sur l'enchaînemenl des idétîs plutôt (|ue sur leur emmagasinage. Pour cela il n<' faiil [)as (lue le maître soit semblable, en face (.V^^ élèves, à

un bureaucrate qui jette dans des cartons verts, raii<^(s sur des l'ayons, des paperasses et des documents. L'iuitialive chez le maître, Tinitiative chez rélèv(% tout est h\. Sa\ oii* c'est selon le mot d'Aristote, faire ou, si le mot est trop ambitieux, refaire, c'est repasser par le môme chemin que les inventeurs de la science. L'enseignement doit donc ôtre aussi peu dogmatique que possible, et en môme temps, ajoute M. Laisant, (( j)rofondément philosophique » en conciliant « la simplicité dans la forme avec la profondeur des idées ». Le maître n'attein(h*a ce but que s'il conserve toujours en face de l'élève l'attitude d'un homme qui cherche, non celle d'un instrument passif et monotone qui ne trouve ni n'invente, mais reproduit ce qu'on lui a confié, des résultats acquis, des vérités cataloguées. Autant vaudrait un phonographe; lieu commun, j'en conviens, mais aussi principe pédagogique constamment méconnu. Et cet oubli des conditions primordiales de l'enseignement est d'autant plus condamnable qu'en mathématiques, l'esprit tire tout de lui-même et ne fait que déployer au dehors ses richesses intérieures. Quoi de plus mort, de plus stérile par exemple, qu'un enseignement où le professeur, cela se voit encore, dicte un cours que les élèves n'ont qu'à transcrire sur leurs cahiers ! Oui, il y a encore de malheureux élèves qui subissent cette méthode et il y a des maîtres qui ne sont eux-mêmes que des livres qui se récitent et des cahiers qui parlent !

Loin de moi la [)ensée de donner des conseils aux professeurs de mathématiques ou de disserter longuement sur le rôle de l'analyse et de la synthèse, de la méthode d'enseigneet de la méthode de découvertes. J'emprunte à un historien des mathématiques le portrait du professeur idéal : si tous les maîtres lui ressemblent, tout est bien et il y a seulement lieu de s'étonner que le goût des mathématiques soit si rare

chez les élèves : « C'est à Lagrange principalement qu'est (lue la substitution, dans renseignement, de la méthode analytique à la méthode synthétique. Avant lui, toute théorie s'établissait par la superposition de théorèmes, résultat chacun d'une combinaison de théorèmes précédemment établis, dont Tordre savamment combiné par le maître, ne pouvait être justifié devant l'élève, puisqu'il aurait fallu, pour qu'il en comprit le motif, qu'il pût apprécier le but qu'il s'agissait d'atteindre, Lagrange, quelle que soit la théorie qu'il veuille exposer, prend toujours comme i)oint de départ la relation la plus générale parmi toutes celles que la théorie peut comprendre, et c'est de cette relation générale que découlent, par éliminations, par restrictions, par spécialisations, toutes les relations qui constituent les théorèmes proprements dits. Cette méthode a le double mérite d'épargner à rélè\'e les dificultés les plus rebutantes et, en môme temps, de respecter son indépendance. Elle exige, il est vrai, de la i)art du maître plus de talent ; mais le souvenir des (l('monstrations de Lagrange à l'Ecole normale et à l'Ecole polytechnique est resté dans la mémoire de tous et a obligé ses successeurs à renoncer aux formes commodes, mais barbares de l'enseignement magistral*. » Est-il bien exact de dire qu'on y a généralement renoncé et que la distinction de Port-Royal, (jui appelle la syntliès(î une méthode d'enseignement ou de doctrine et l'analyse une méthode de découverte ou d'in^•ention, ce qui fui l()ngtem[)s un dogme et connue un article de foi, est tomlx'c eu (i<''suétude pour faire [)la('e à la th<''()rie justement conlijiii'c ? .\c, ne le crois pas.

Et j'appiii( mon opinion sur les réclamations mêmes de M. Laisanl. (jui n'auraient pas raison d'être, ei les mathéma-

(I) M. M.'irif. Ilislnirr (les tiifi//iéniuli({urs, i, IX, p. l.*>5.

tiques nV'taiont encore, le plus souvent, (jue des « supciposilions (le théorèmes ». Je [)rendrais volontiers pour témoin non j)lus un maître mais un « étudiant » (jui j)ju'aît avoir beaucoup souiïei-t de la méthode conti*airersl Ton en juge par la vivacité de ses [)laintes. « Les mathéjnaticiens, dit M. G. Sj)erk de Lausanne, semblent être en désaccord avec les autres j)édagogues. Non seulement ils n'exigent pas des élèves un j>lan précédant la démonstration, mais ils n'en font pas usage eux-mêmes \ » Il est vrai que cette anomahe se présente dans lui pays voisin et qu'on peut supposer qu'elle n'existe pas en France. Il dit encore : « Nous ne cesserons d'attribuer la cause de l'ignorance des mathématiques aux pédagogues, aux pédagogues qui exigent de leurs élèves du raisonnement logique, tout en ramenant l'étude des mathématiques h des exercices de mémoire. C'est ainsi que les pédagogues font apprendre par cœur des théorèmes et leurs démonstrations dont la moitié n'ont pour base que ce, que les élèves appellent des trucs. Les maîtres sont loin d'expliquer aux élèves que, ce que ceux-ci appellent des trucs sont des opérations fondées. » Quoi ! la science elle-même serait- elle truquée, comme la Suisse de Tartarin ! Et notre rancuneux « étudiant » qui est aujourd'hui un ingénieur, ajoute avec beaucoup de bon sens : « Il ne suffit pas que tel ou tel professeur poursuive logiquement un certain système, il faut encore que l'élève, lui aussi, acquière la connaissance de ce système, qu'il se rende compte de la suite des idées et qu'il sache s'orienter dans ce qu'il aura acquis » ; puis il conclut avec une modestie un peu pessimiste : « Dieu veuille que mes paroles, paroles d'un étudiant et par conséquent d'une victime, ne soient pas un vain écho dans le désert. Espérons que le corps enseignant ne

(1) Critique de renseignement des matliéma tiques, par Gustave Sperk, étudiant à l'école d'infirénieurs. à Lausanne.

|)rciulra pas en mauvaise part les indications que nous nous sommes permis de lui donner et qu'il ne tardera pas à changer sa méthode d'enseignement. »

Un mot nous frappe : s'orienter. Le critique le définit fort bien : c'est percevoir le rapport existant entre les théorèmes, c'est comprendre l'importance de chaque théorème et se rendre compte de la place précise qu'il occupe dans un tout liarmonieux. Ou'est-il l)(\S()in de parler de mécanisme de théorèmes, d'organisme d'intuitions, ou même d'employer ces mots, gros d'équi\oques et de controverses, d'analyse et dt; synthèse ? M. Laisant va nous donner les moyens les plus j)i*atiques d'orienter l'élève et de conserver partout « l'ordre lucide » qui ne permet jamais à l'attention de s'égarer et de faiblir. Ces moyens sont très simples. Comment un professeur de littérature s'y prend-il pour élucider une oraison hmèbre de Bossuet ou une tragédie de Racine ? Il fait d'abord une exposition où il raconte l'événement et pose les [xM'sonnages, puis il analyse, explique et prie l'élève de résumer ses explications et de marquer neltenieiit l'enchaînemenl h>gique des idées. Le professeur des malin iiiatiques doit procéder exactement de la même manière. Il fera un usage svstémati(jue des « introductions » et des « résumés » se souvenant que la marche invariable de l'esprit est de procéder par une anah\se entre deux synthèses.

Les leçons d'introduction seraient réservées au maître. « Avant d'aborder chaque chapitre un peu important de la science que l'on étudie, on cxj)oseraitsous une forme résumée (|uel en est l'objet essentiel, pourquoi ce chapitn; présenh' un inh'-ivl, d;ui^ (|ii<ll('s circonstances on pourra avoir à en faire aj)plicalion et comment on se propose d'accomplir l'explorafion (jue l'on a en vue. La route étant ainsi jalonn(''e d'avance, la co]npn''h('usion desrljo^r^ scim phis uMlurcll»', rrsjxif d'ini-

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tiativo et de roclicrche s'ou\ rifa plus facilement, tandis ([iie souvent des esprits, niônie bien doués, ne peuvent surmonter certaines difficultés ni comprendre certains théorèmes, |)arce qu'ils marchent comme dans la nuit, sans fil conducteur, sans pouvoir deviner le lien qui existe entre les propositions successives qu'on fait passer sous leurs yeux. » J'aime mieux citer que paraphraser un texte si clair et si plein. ()u'on se rappelle l'exclamation d'Edgar Quinet : Malheur à celui qui restait attardé en chemin, celui-là })erdait le fil du labyrinthe et ne le retrouvait plus! Ce malheur qui arrive journellement et qui dégoûte à jamais des mathématiques des élèves souvent fort intelligents serait évité, si les leçons d'introduction et même des fragments de leçons d'introduction étaient intercalées systématiquement dans la science. Loin d'être du temps perdu, ce serait du temps gagné; et quelle satisfaction, quelle sécurité pour l'esprit, de savoir à chaque moment d'où il ^'ient et où il va, d'être exactement renseigné non seulement sur le comment mais aussi ^\iv \q pourquoi de chaque démonstration. Mais il est clair que le })rofesseur doit être libre de ses mou\ ements et qu'il ne faut })as l'enfermer dans la cage de fer d'un programme rigide et impitoyable.

Les leçons de revision ou de résumés seront l'utile complément des leçons d'introduction et représenteront la })art d'initiative des élèves.. Qu'ils soient interrogés à tour de rôle et appelés à fournir eux-mêmes des démonstrations et à chercher des solutions de problèmes autrement que la plume à la main. Mais surtout, le cours terminé, une branche de la science achevée d'étudier, qu'ils soient invités à retracer euxmêmes à grands traits le chemin parcouru, à montrer d'où l'on est parti, où l'on est arrivé, à rappeler dans leur enchaînement les propositions essentielles, en laissant les autres dans une ombre relative. Qu'ainsi les élèves tour à tour repensent

la science et soient amenés à substituer à une mémoire mécanique le raisonnement, qui est une mémoire logique et purement intellectuelle. S'orienter ce n'est pas se tourner vers le maître ou vers le livre c'est voir clair dans sa propre intellection : la pensée qui n'est pas la pensée de la pensée n'est qu'une ébauche et une esquisse de })ensée. Et c'est ainsi que la science devient un or*ganisme d'idées : les abstractions mêmes sont rendues vivanles, car elles vivent de la \ ie môme de l'esprit.

Aride et morne peut paraître le monde des nombres et la région des formes, mais l'esprit l'anime et l'éclairé. res[)rit qui, comme le poète selon Platon est « chose ailée, légère et sacrée » et apporte partout, invisible et présent, non seulement la lumière et la vie. mais l'élan spontané et la passion. On a écrit de belles [)ages sur la « vie des mots » ; il y en aurait de non moins justes à écrire sur la vie des nombres et des figures. La vie, disait (]1. Bernard, est une création ; on pourrait RJuulcr (pic la mathématique est une crcalioii continuée. Tracez des figuro hii- un tableau noir, celui-ci les voit avec sa rétine, celui-là a\cc son regard, autant dire avec son Ame, sans s'effrayer du pai'adoxe, puisque Pascal a pu dire (pie c'est « par le c(Xîur (pie nous sentons les trois dimensions de l'espace ». Les vrjiis mathématiciens ne trouvent rien d'excessif et d'exag(''i-é à ces expressions. « Eten(hie p]iysi(pie cpii est devant nous, (ht Sophie (jermain, éten(hic iiilctkîcluelle (pie l'homme peut reinb'e pr('\sente à son es|)ii( cl cpii n'(^st ajx'i'çiic cl moiii'i'c (jiic |);ii' l;i j)<'iis(''c ; Noijà l'ciiipii'c di' h\ gvométrie. ( /< -i alors qu'elle est grande, (pfelle est vaste comme ri'iii\cr> ! Ouvrage miraculeux delà raison humaine, les honmies y ont concentré toutes les i(h?es d'ordre et chr reclilude qu'ils ont reçues du ciel. » Et Sophie Germain ramène à trois les quîditcVs et, pour ainsi dire, les vertus du bon géo-

mvUv : |)i-()f()n(lciir do vues, justesse de jugement, liiiaginalion vive. Puis, s'élevantde la géométrie pure î\ cette géométrie sublime et céleste qui règle le cours des astres, elle insiste sur Tintime et mystérieuse connexion des véi'ités absti'aites avec le développement sociologique, de Tabstraction avec la passion, étrangement entrelacées dans Taspect même du ciel des astronomes car « Tancienne histoire y est écrite, et la fable y est figurée; les premiers dieux y conservent leur empire. Anciennes erreurs, vérités antiques, tout est écrit dans ce livre : et Fhomme qui sait y lire retrouve à la fois la grandeur majestueuse de la nature, la mythologie et les débris des cultes, les leçons de la fable et le sou\enir de ses premiers ancêtres \ »

3° C'est que les mathématiques ne doivent pas être enseignées exclusivement, à Fantique, comme des sciences pures ; mais au contraire selon Tesprit moderne, comme des sciences à la fois pures et appliquées. Avec quel soin il ftiut les faire jaillir de Fempirismc grossier des premières années, nous Fa\'ons vu ; il s'agit maintenant de montrer qu'on ne doit pas prendre un soin moins systématique et minutieux de les relier à Fexpérience scientifique. Je ne préjuge rien sur Forigine des notions mathématiques : qu'elles viennent de Fexpérience ou qu'elles existent innées dans l'esprit, c'est affaire aux métaplnsiciens de discuter ce prol)lème. Mais ce que je sais de science certaine, c'est qu'il est extrêmement regrettable d'aggraver encore leur caractère abstrait, en les séparant de l'expérience spontanée et de Fexj)érience scientifique. Qu'elles se fassent hardiment conquérantes; qu'elles pénètrent dans toutes les sciences non par usurpation et envahissement, mais qu'elles s'y glissent, s'y insinuent, comme ces

(1) Sophie Germain. Œuvres philosophiques, éd. II. Stupuy, p. 277.

peuples prolifiques qui essaiment et colonisent. De science pure, se faire science appliquée, ce n'est pas aspirer i\ descendre, c'est prouver le mouvement en marchant, c'est révéler une fécondité inépuisable, c'est ressembler à la lumière, présente à tout Tair, qui réfractée, réfléchie, polarisée, garde [xnu'tant sa nature dans tous les milieux qu'elle traverse. A parler rigoureusement c'est em[)loyer une expression im[)ropre que de dire des mathématiques qu'elles sont la base de l'édifice scientifique : elles sont plutôt le ciment qui unit et qui maintient, qui fait d'une voûte puissante un seul bloc que rien ne peut entamer.

Mais qu'on ne prenne pas le change sur cette expression de sciences appluiuécs. 11 ne s'agit nullement de ces applications des sciences qui en feraient des études pratiques et professionnelles. Nul ne songe à dédaigner ces applications mais, dans l'enseignement secondaire, il s'agit d'autre chose. 11 s'agit de la circulation du savoir à travers le corps entier de la science où tout est (( conspirant et sympathique ». Voilà le fait à bien comprendre : l'ignorant même l'entrevoit et sent confusément'que la science est une; le savant a pleine conscience de cette unité. A mesure que les sciences se perfectionnent, (Mes cessent d'être simplement des répertoires de faits jiour (k'venir des systèmes d'idées ; les faits épars et comme en poussière s'agrègent et s'agglutinent par des liaisons et des rapports qui sont d'ordre mathématique. Les inductions ellesmêmes prennent la forme de déductions et le coiitingcnt nous a|)paraît comme nécessaire. C'est que les lois particulières et spéciah's se ramènent à des lois plus générales et cclh'sci à des lois universelles. Il ne serait |)as dilïicih' de nndtiplier les exemples. Contentons-nous de cette brève indication : l'iine formule les lois empiriques des marées ; KéplcM* les liois lois mathématiques des mouvements planétaires ; Xewloii

les comprend toutes trois dans une loi unique et leur donne ainsi le plus haut cai'aclère de rigueur et d'intellig'ihilité. Elles perdent dès lors une partie de leurs caractères empiriques, s'épurent, se spiritualisent, pour ainsi dire : la déduction succède à Texpérience et à Tinduction ; les matliémati(pies régnent en souveraines. Le professeur qui les enseigne révèle i)ar là même les secrets de Tasti-onomie et de la physique : ses abstractions sont devenues légitimement des abstractions réalisées, c'est-à-dire la réalité même. Pourquoi donc se priverait-il et priverait-il Télève de ce secours ? La science pure, par une métamorphose que les anciens ne pouvaient [)as soupçonner, par une sorte de miracle scientifique, devient une science appliquée, sans s'asservir à une autre science et sans rien perdre de son « incorruptible beauté ».

L'application de l'algèbre à la géométrie ; l'application des mathématiques à la mécanique sont si évidentes qu'il est inutile de s'y arrêter. ^lais rien ne serait plus utile que de montrer qu'entre les phénomènes les plus disparates, physiques, chimiques, biologiques, la déduction mathématique nous ré^'èle des points de ressemblance que l'observation directe n'aurait jamais pu saisir et démontre que des faits hétérogènes sont soumis aux mêmes lois numériques, aux mêmes rapports géométriques et mécaniques. La loi mathématique, c'est la clef magique qui s'adapte aux serrures les plus hermétiques et, sans violence ni effraction, ouvre toutes les portes. Le mathématicien est plus que l'auxiliaire du physicien, duchimis'e, du biologiste, du sociologiste, du moraliste; ils sont pour ainsi dire ses rabatteurs et ses pourvoyeurs : ils lui prêtent leurs réalités tangibles et visibles par lesquelles ses abstractions prennent corps et deviennent elles-mêmes visibles et tangibles. Que nous voilà loin de ce mathématisme étroit qui égrène ses théorèmes comme la bonne femme égrène son chapelet, faisant

à chaque grain rune une petite prière, Fautre une maigre démonstration !

Et qu'on veuille bien remarquer qu'il ne s'agit point ici de cette thèse métaphysique qui consiste à soulenii* que TUnivers physique et moral n'est tout entier qu'une uni(jue vérité, (ju'il y a une formule magique qui, selon les expressions de Taine, se prononce au plus haut de l'éther et dont les ondulations prolongées emplissent l'immensité. Cela, je n'en sais rien et n'en puis rien savoir : déchifTrer et développer cette formule est un rêve bien \ain. puisque je ne la connais pas. Je ne sais pas si toutes les sciences (hjivent aboutir un joui' à la foi'me déductive et mathématique. De fort bons esprits n'jdjandonnent [)as cette espérance : « La démonstration doil èhc. dit un pénétrant philosophe, au terme de leur développement, la méthode des sciences qui sont aujourd'hui expérimentales. Elles ne peuvent s'arrêter tant qu'elles n'ont trou\'é que des relations constantes, c'est-à-dire des lois dont les plus générales sont, en somme, empiriques... A force de serrer de près la vé rite'', on doit arriver à découvrir et les définitions essentielles et les concepts élémentaires qui servent à les former. Ces concepts ('h'mentaii'es sont les vrais commencements de chaque sci(^nce, les fondements de son unité spécifique. Après les habiles manœuvres et le patient labeur du siège expérimental et inductifj ce sont les brèches par où l'assaillant pénèti'echuis la place*. » Définissez par exemple une ondulation lumineuse; NOUS verrez dans \'os formules cette ondulation de lumièi'e se r(''fléchir, se réfractei", s'intei'férer, s'absorber, se polariser, devenir successivement tous ses effets physi(|ues, chimi([ues, nerveux, sensitifs, cérébraux. Un aveugle peut être savant en opti(jue, s'il sait manier l'instrument du calcul. Idéal à vrai

(1) E. Goblot. Easaisurla classificaiion des sciences, p. 76. (Paris, K. Alcun.) Bekthand. — Los éludes. 14

iMO L'ESPRIT DES SCIENCES

dire que celte science toute déductive qiravait déjà rêvée le moyen Age, 'mais idéal que la science réalise toits les jours pai' l'i'jipnents. Chaque science rrest-elle par un fragment d'idéal comme clia({ue corps est un fragment d'étendue géométrique? Et ce n'est pas nier le rôle de Texpérience, puisque Tétenduc elle-même est notre première et plus générale expérience.

Il y a même deux réser\es g'ra\'es à pi-ésenter. L'analyse jiiatliématique est quelquefois un instrument trop parfait et sr i-efuse à interpréter nos grossières observations et à traduire notre empirisme. Ainsi l'empirisme conser\ e ses droits : on a i-emarqué que si Kepler avait eu à sa disposition nos instruments perfectionnés, il eût constaté, dans la marche ellipticiue des i)lanètes5 des perturbations qui eussent mis ses calculs à une i-ude épi'euve. La perfection de ses ellipses était fondée sur Fimperfection de ses observations, qui lui laissait toute sécurité dans ses déductions mathématiques. Le |)rogrès scientifique ne se fait que j)ar approximations successives et il faut se résignei' à voir longtemps encore l'expérience et la déduction faire, chacune de leur côté, la moitié du chemin. Cette collaboration des savants, dans l'exploration de chaque Contrée, de chaque recoin de la réalité, constitue entre eux une véritable confraternité d'armes. Ils ne tordent pas d'ailleurs à s'apercevoir qu'à tout vouloir réduire en formules et en équations, il n'y a pas seulement abus et pédantisme, mais chance certaine d'erreur et d'égarement. « Ce qu'il y a de plus vicieux, dit très bien Sophie Germain, c'est renn)loi des chiffres là où ils n'expriment aucune valeur réelle. Ils usurpent le crédit du aux connaissances positiA es et servent à établir l'erreur en donnant le change aux amis de la vérité*. » Les mathématiques aussi peuvent devenir « une puissance trom-

(1) Sophie Germain. Œuures philosophiqi/es, p. 199.

pense ». La science n'est pas une promenade dans les allées régulières et géométriquement tracées d'un jardin français. c'est bien souvent une excursion hasardeuse dans une foret vierge.

Ces rcser\es faites, il faut encore que les maîtres de la {)édagogie mathématique nous donnent raison. Cette question de rap[)hcation des mathématiques à toutes les autres sciences est Tépine dorsale de notre système d'études : c'est, en effet, cette ap[)lication qui assure aux études la continuité et la progiession. Il ne faut jamais perdre de vue, dit M. Laisant (f ({u'une science [)ure, au j)oint de vue dont nous nous occupons, n'est jamais une science complète. Il suit de là que toute instruction rationnelle doit contenir, à coté des éléments eux-mêmes, des applications continuelles, dans une mesure .isscz discrète, mais adaptées le mieux possible aux théories. Le but de ces api)lications est double : tout d'abord présenter à l'élève des exercices sans lesquels une science n'est jamais vraiment assimilée; et puis, ce qui est plus important encore, fournir des occasions continuelles de rapprocher le concret de V ]'ab^>liail. de montrer comment on peut revenir de celui-ci à celui-là, ce qui est le but définitif de la science en général' ». Et ce n'est })as par hasard et par occasion seulement, ajoute .\L Laisant, qu'il faut effectuer ce rapprochement et attirer Tat- Iciition (les élèves sur les rapports de la science pure et de la science apjdiquée, sur l'hymen légitime des concepts abstraits avec les réalités concrètes, « c'est sans cesse tjue le cùlé phil()sophi(|ue devrait être la grande préoccupation ; et cela dans toutes les classes, à tous les degrés, sui' Ions les sujets ». On X' isouviendra, par exemple, que la mécanique pure ne sufîit pas, (ju'une mîiclune n'est pas un système de foires calculées

(1) Laisant. Op. cil., p. 190.

d'après leur intensité, leur direction, leur composition, mais qu'il faut l'envisager au triple point de vue du récepteur', des transmissions et de l'outil.

H l'aut qu'à quelque moment (lu'un (Avw interrompe ses études, sa science puisse lui servir et le suivre dans h\ vie et, pour obtenir ce résultat, il n'est qu'un seul moyen : combiner toujours les lois de l'abstrait avec les exigences du concret. Si cette condition est remplie, qu'un jeune homme soit destiné à de\'enir membre de l'Académie des sciences ou bien ingénieur, industriel, commerçant, il n'aura jamais à regretter les efforts que lui auront coûté ses études secondaires de mathématiques. Voilà pourquoi, dans notre Lycée, le professeur de mathématiques accueille, dès l'entrée, le futur ouvric^r de l'œuvre sociale et, de science en science, l'accompagne jusqu'à la sortie, symbole très exact et très expressif du mouvement même de la vie et de l'action : science pure d'abord, pour donner à l'esprit ses moyens d'action et l'inflexible rigueur du jugement et du raisonnement ; puis, sciences appliquées, pour étendre sa capacité, lui faire prendre pied dans le réel, unir intimement les lois de l'esprit avec les lois des choses ; enfin, api)lications pratiques, techniques et professionnelles, objet d'un enseignement nouveau et spécial, solidement fondé sur le béton et les assises inébranlables que jette l'enseignement secondaire. Ainsi s'atténuerait et disparaîtrait la vieille antithèse de « l'esprit de géométrie et de l'esprit de finesse >). Il n'en resterait que l'assertion trop justifiée de Pascal : a Les esprits faux ne sont jamais ni fins, ni géomètres. » Peut-être aussi la désolante constatation de Port- Royal : « on ne rencontre partout que des esprits faux, qui n'ont presque aucun discernement de la vérité » perdraitelle un peu de sa généralité. Quant à ceux qui semblent redouter que cette science « engageante et hardie » comme

disait Bossiiet de la philosophie de Descartes, cette science non plus passive mais conquérante, ne fasse disparaître, avec rignorance, le mystère et la poésie, nous leur avons déjà répondu : qu'ils se rassurent, il y aura toujours, comme disait Montaigne « ignorance abécédaire et ignorance doctorale » ; rignorance et la science formeront toujours deux sphères concenti'iques : plus la sphère de la science s'agrandira, plus se multi[)lieront ses points de contact avec la sphère de rignorance. Au commencement de ce siècle un poète, ChênedoUé, désespérant de marier ses vers médiocres avec la science et la poésie, au lieu de s'en prendre à sa propre impuissance, s'en j)renait à la science : la science, disait-il, n'est i)as encore nubile ! Elle Test aujourd'hui mais il se trouvera toujours des esprits chagrins et impuissants pour dé|)lorer que la mariée soit trop belle.