PENSER

MMS;

Ce système peut être remplacé par un autre statiquement équivalent. Le couple de torsion M,; donne, suivant la ligne s,, une force égale à

: dM #2 yo M et suivant s, la force — eme on aura donc pour conditions D

Res F2, Fs, | jo M, TEE Q, —+- di9 Si F, + diù M,

(46) Os rTM, dS, s dM | F; DS Vi ds? Fes ds? ñ Ms, — M, — M,.

Cherchons maintenant les conditions quand le bord est quelconque. Si l’on désigne par F,,F,, F,, M,, M, les forces et les couples extérieurs appliqués au bord et si P', Q°, V' désignent les résultantes de forces élastiques en un point de la ligne suivant laquelle la surface moyenne rencontre la surface-bord, et H' et G’ les couples de torsion et de flexion, le couple de torsion donnera deux forces; et si 0° désigne le rayon de courbure de la surface moyenne suivant la section normale passant par le point considéré de la ligne-bord, on aura les conditions

Prix, ; H' s M (8 7 Fs DE (47) P2 Po v’ ad’ es dMx HAS CTS \ = M;.

Ces conditions ont été données par M. Basset et le professeur Lamb pour le cas d’une enveloppe d'épaisseur constante, mais elles sont générales. Cherchons les valeurs des forces et couples qui y figurent; la normale (N) à la surface-bord faisant des angles, dont les cosinus avec les axes æ’, y’, z' passant par les mêmes points, sont cos®’, cosy", cos Ÿ’, si l’on appelle les cosinus directeurs de la tangente à la lignebord (S), coso,, cosy, cos: et ceux de la normale élevée sur le plan de (N, S) cosv!, cosy, cos, en multipliant les équations (42) respectivement par cos+’, cosy’, cosŸ et ajoutant membre à membre, on trouve

fs=f> cos + f, cosy +; cos" (48) = N! cos’ ®'-N' cos’y'+ N;cos?d'+ 2T, cos ®’ cosy" + 2T, coso'cosd'+ 2T; cosd'cosx'— P;;

50 C. MALTÉZOS.

on aura de même

fs=f> coso, + fr cosy: + Je cosb,

s | = N'coso' coso, + Ncosy' cosy, + N' cosd'cost! KE | +T\(cosy'cos 9, +cosp'cosy,)+T;,(cosh'coso, +coso'cosŸ:) + Ti (cos L'cosy, + cosy’ cosd,) —Ps, É fa = f» COS, + fr COS y + J= cos vd, Si = N',cosv'coso, +...+ Ti(cosd'cosy, + cosy'cosb,) = P,

Si »! désigne le rayon de courbure de la surface moyenne suivant la ligne-bord, on trouve

7 < se 2 Il à — [l P, L— % \dpas *—} re . ea » 4 So = PS Le — }des, S œ 22 \ ra an s re Î DE] (2) | M — PR? (- 2 ) des | 0, —\ 1 = a ? ë DE H'—— | Pasa(r— 5) des, dr F2 Pau ” ; * 29 1 —— | Pssa( 1 — S de, —N P2/

Ainsi les conditions aux limites se compliquent énormément.

Mais on peut imaginer un cas particulier beaucoup plus général que le cas que nous avons traité en premier lieu : c’est le cas où la ligne S est la section de la surface moyenne par une surface contournante où limite simplement normale au feuillet moyen. Alors L’— 0, et si l’on pose

cos ®'— cos, cosy — sin, on trouve cos®, —— sin6, COS y, — Cos 6, cosŸ —0, COSP,—= COS Ya — cos bi, — 1,

7] Ed TD » & | | } TO Cd

Or ri

Les équations (48), (49), (30) deviennent

{ Px=N, cos*0 + N, sin? 0 + T! sin 26, (53) | Ps — sin0 cos0 (N, — N°) + T, cos 26, PR Te CoS dl Sin =" pe

et les expressions (51) où, au lieu de p", on a mis p!,, qui est donnée par la formule | œ — js COS 9 + a, sin? 0.

Au lieu de donner les équations (46) ou (43), on peut se donner les valeurs des déplacements de la surface moyenne et de la dérivée du déplacement transversal par rapport à la normale N sur le bord, et l’on

aura

(54) REA RP; REC, = j}}