AUTR

dt?

dR,

de?

dt?

do»,

dp>

dop.

Équations générales. — Si l’on substitue les solutions (2) aux équations (1), elles deviennent

FÉES LA ol - DU or > do do

do? do £ W ŒW adW

+ D,V + A, M ner D: Nc,

BU, c Le D'V - Fo Ge

(4) do? do do? do Den CDN

do? do A' = B' et Du es NA de d? dp # do W 72 ds W 1 d? W j 72 adW 7 e—

+DiV+M, de + A; LP -B; de cor 4 D; W=—=0;

Les coefficients s’obtiennent sans difficulté, ayant pour facteur une des quantités Ce, Cor, Co,» La valeur de v’, qui y entre, est

[QU Ca AU, Cuss *X | r do 7e

(= ni . 7e) —Dp° eitaÿ+pt)

W— Cu 1 V— Cu Et te SE w)|

En éliminant V et ses dérivées entre (4), on trouve

AU d&U &U dU d'W oo de LE Boo dos t Yo0 de + 00 —— do + €oo Ù + Goo —— dot

dW d&W dW + B20 do 3 + Y26 do? > Ch er de + €20 W 10!

dU d'U . GPU » GP »

(6) Ce do nn 0 Cum o° F0 Ge 00 7 | 0070 dW d'W STE LT ne dos Bee do BW &æW adW + Yro or do À Ce Co do or do ne V0:

| à fhéiutl dut dr ete dl dé tnSt

54 C. MALTÉZOS.

En posant

d'U dU dU dU X00 77 do To ere de + Yoo do? + oo do + ۍo U = P,o(U), GP d'U

vo pue + Poor eos +6, U=P!,(U),

et de même pour W, et éliminant U entre (6), on a finalement l’équation

Los Bos Vos dos Eos Goes os Pos Los Xos Pos (W) 0 Cox Pos You Ou Eu Cor os Oo ler Ps, (W) (o) (o) Xo3 Bos Vos dos Eos Gos oz Pos P3 (W) O O O Lo Boz Yo2 do2 Eo2 Goa No2z P62 (W) (o] (0) (0) 0 Œo1 Boi Yo doi Et + Con Pr (W) (GR RON 0 O O (0) O oo (Boo Yo0 doo Evo P40 (W) |; D, Pos Don O0 Cor 00e le Ur ee one LES NN) 0 C3 Pos Vos DE sr iCes los Vos os Es NV) 0 0 CHENCTT Je CARO TR RQ) ® 0 0 %o1 Bon Yot Don te Con lon ss ON) Q 0 9 C %oo Poe Yoo Joo oo c00 Pse(W) où As %o X03 Xo2 oi X00»

D, dos A0 à = Àp4 XG0*

Chaque terme du rectangle formé par les dix colonnes verticales et les six premières lignes horizontales s'obtient en prenant la dérivée par rapport à © du terme au-dessous et en y ajoutant le terme qui

; : ; door, suit de la même ligne au-dessous. Par exemple, GB; — 2e + B,,

B — Ge

tion 7. a contenus dans le rectangle formé par les dix premières colonnes et les cinq dernières lignes.

On remarquera done qu’en particulier

+ $,, et ainsi de suite. La même loi s'applique à la forma-

NON UT DE __ d£&s , du’ ; d£:!

k = L ) DEAUE Torre pp ..) No1 — où

L’équation (7) est linéaire du neuvième ordre à coefficients variables.

Si l’on éliminait W entre (6), on arriverait à une équation semblable à © — o, avec la différence que le premier chiffre o des indices des coefficients serait remplacé par 2, et les P;;(W) et P;;.,.(W) seraient remplacés par P;;(U) et P,; ,(U).

Quant à V, il s'obtiendra par la première des (4), qui, après la détermination de U et W, prend la forme

, dV (8) Ge +D.V=(p),

qu'on sait intégrer.

Conditions aux limites. — Les cloches ont un bord unique qui appartient à la famille 5. Les équations (46, IV) sont donc applicables. Quand le bord est libre, les quatre équations de condition prendront la forme

ŒU dU w

dW EAt dp? + Cu | Ca A; U+ Co,1 x? A,V+C, A + Co, SA: do + Co, A WE=0:

dv a

eau dW CC re tee + Cy, CV + Cu, C5 — or Care nil W—o,

&W awW , dU l Ca2Di 7 + Cu,oD: do + CuoD;W RU + CaDsU + Co DV — 0. . , Ces Les trois premières équations détermineront les rapports & rise si dU dU d’'W awW À, —— ao + À, — de + A;U AV. À. on — + A; —— ar +AW | dU ÆON adW # 0, — re EL sn Le dE 0}; dÜ dV dW ANNEE Da de <= QU (Bb d RE (64 (Ce do + C; d É +C, W

pour © — 9,. Cette équation 9,— 0 déterminera p°. Il nous reste encore une condition, savoir la quatrième (9). Comme l'équation (7) est du

56 C. MALTÉZOS.

neuvième ordre, nous aurons besoin de huit conditions pour déterminer à une près ses constantes. Une des conditions est celle qui reste des conditions aux limites (9). On trouvera une seconde, en exprimant que l'intégrale générale de (7) ne devient pas infinie au pôle. Les six autres conditions s’obtiendront ainsi dans les deux cas suivants :

1° Cloche libre. — Dans ce cas, on peut exprimer que le mouvement du centre de gravité et les rotations de la cloche autour de ce centre sont nulles (car on tiendrait compte à part de ces mouvements d’ensemble par les équations relatives aux corps rigides); alors l'impulsion totale sera nulle et le mouvement d'ensemble aussi et l’on écrira le théorème des quantités de mouvement et de moments (en les égalant à zéro).

2° Cloche immobilisée par le sommet. — On écrira que, pour le pôle (9 — 0), les trois déplacements et par conséquent x, #, æ sont nullès; de même, que le plan tangent en ce point (9 —0o) ne bouge pas; enfin qu'une ligne particulière assignée de la surface moyenne, qui passe par le pôle, est immobile.

Le son fondamental s'obtient toujours quand les lignes nodales méridiennes sont au nombre de deux et rectangulaires entre elles; il correspond donc à & = 2.

Si l’on choisit comme deuxième méridien origine (L = o) le demiméridien qui est pincé ou frappé par le battant ou l’archet, on voit que la cloche rend le son fondamental quand les lignes ventrales sont les demi-méridiens

T 3T UE Ve ÉT et or

Par contre, les demi-méridiens

sont les lignes nodales.

Le premier harmonique s'obtient pour « = 3, et alors les lignes

ventrales correspondent à

4 DAT 4&r 57 Ÿ 0); LL 74? T, ge mu

ce qui à été confirmé par l'expérience.

Les expériences ne nous ont pas donné des lignes nodales parallèles, mais rien n’assure qu'elles ne puissent pas exister.