CHAPITRE TE
Équations générales d'élasticité en coordonnées curvilignes. Cas particuliers des enveloppes solides.
Avant d'exposer la théorie de l'équilibre élastique et du mouvement vibratoire des enveloppes, il nous faut trouver les équations générales de l’élasticité en coordonnées curvilignes qui, pour la première fois, ont été données par Lamé (‘). Nous pourrions les poser comme con-
(:) Sur les surfaces isostatiques dans les corps solides homogènes en équilibre d’élasticité (Journal de Liouville, t. VI; 1841).
Lamé admettait l'hypothèse de Poisson et posait À = u —:; c’est ce qu'il appelait le
nues, mais il faut les trouver, d’ailleurs très brièvement, par la méthode analytique en suivant une autre marche que celle de Lamé, car les formules que nous rencontrerons nous seront ailleurs nécessaires. Après, nous supposerons l'origine mobile sur la surface moyenne de l'enveloppe et nous formerons ainsi les équations générales spéciales au cas de l’enveloppe, non connues, je pense, en toute leur généralité.
Notions des coordonnées curvilignes, ete. — Considérons un triple système de surfaces orthogonales et soient
(1) (2, 7,2) = p, fi(x,7,2)= 9, f1(2,9, 3) = pa
les équations de ces surfaces, p, p;, p, désignant des paramètres variables. Tout point de l’espace défini par les coordonnées x, y, z peut être aussi défini par p, p1, p: qui s'appellent ses coordonnées curvilignes. Soient s l'arc suivant lequel se coupent deux surfaces p;, p,; de même, s, l’arc d’intersection de deux surfaces p, p:, enfin s, celui d'intersection de deux surfaces p, p: qui passent par un point de l'espace P.
En posant
: ARE Re dp:\2= RE tue) QC ALES ORNE.
(2) DE terre DE)=R = DE) ==
on a
(3) ds — Hd, dn=
doi . ds: = do2 — H: do; hi le
et, si r4, désigne le rayon de courbure principale de la surface p, suivant l'arc s, (où Æ et l sont deux des nombres o, 1, 2 pris inégaux), on trouve
1 A; dhy 1 dHz 3 dhz 1 dHy
re he do Habe dpe he ds He ds
Le rayon de courbure est dirigé dans le sens où p et s augmentent.
coefficient d’élasticité, tandis qu'on désigne maintenant par ce nom l'expression
FH OlE2R), Le À1+u ?
u mesure l’élasticité de forme et on le désigne par le nom de coefficient de rigidité; el À mesure la résistance au changement de volume et prend le nom de coefficient de fluidité.
20 C. MALTÉZOS.
Menons maintenant par le point P les tangentes Px', Py', P:' aux courbes s, 81; 82, et prenons-les pour nouveaux axes de coordonnées rectilignes. Alors les forces élastiques, dilatations et glissements, suivant ces axes, seront accentuées.
On à les relations connues
CE ANNMERRE EE Rae RS SEE ne
L= did + be dy + C'dz + Es gy'a + Je La'z + K'sSx'y' (0);
Les coefficients qui y entrent sont variables d’un point à l’autre quand le corps est hétérogène. Dans le cas d’un corps isotrope, ces coefficients se réduisent à deux, À et u. En effet, on a alors | (6) Ce d'= Vie dENrU, J=e=té = k et les autres coefficients sont nuls.
En désignant par R, R;, R, les projections sur les axes x’, y’, 3° du dépla-
5 P JA cement du point P, qui résulte de la déformation, on aura les formules
du’ dR R: Ra DR SEE dx ds roi ro2 do dRi R; R (7) Ge DT Te
da’ dl; R R:
Te Az dis T20 To1
et
du dR Le Ri du" dR Ro
dy” sn dsi 76e Ge us ds 30
do' dR; R do' dR; R2 8s — = — — = ——— = (E) dx’ ds #3 For dz' dS2 F ae
dw' dR: s R dw' dR: R;
GER GR Pas Ts re avec (9) Pare du do’ RAC do’ dw' u __dw’ du!
9 CRT ET SR 7 SEE Ci OA
(1) De ces trente-six coefficients, les vingt et un sont distincts, et l’on a
DC C —= 3, Ce —= 3, f = y, ER; C1 = Lo, e = D, fi — 0; ki = bs, Co = 3,
fac ki = C5, fie k3= 65, = e
Equations indéfinies d'équilibre d'élasticité en coordonnées curvilignes. — Elles sont, en coordonnées rectilignes,
: GE = Æ Die, dTs ANe dT:
Fr dy PAT dT; aT; dN3
re mL d É DES + DC = o.
