C. MALTÉZOS
et en tenant compte des relations (11), (12) et (13) et des formules bien
connues
(13 bis) Ju . < Vo 4
on arrive à l'équation suivante
2e ie [a (SE | se +y nn (agE pe dE Nan (3 a de F- & n gi) NA (29% a ie a)
ri [a (a +8 ent) nu +R + nt )]
nan) 8 (aa nt]
— T7 | > À (a ae hs (a na LCL a )| DR — 0:
Nous avons un système triplorthogonal de surfaces qui se rencontrent en P. Donnons au paramètre o un accroissement do; alors la courbe Ps; viendra en P's'; supposons que les deux tangentes Py', P'y", qui sont normales à la surface 9, aux points P et P', se rencontrent en un point O. La différence entre OP et OP’, est infiniment petite d'ordre supérieur à 1. Projetons les trois côtés du triangle ainsi obtenu POP‘ sur l'axe des x, et écrivons leur somme égale à zéro. On aura ainsi
(ay— 25) — à ds = 0;
(15) or , da; = d ; ds done la relation (15) devient da;
x ds — Lu 4 ES ds = 0 ds
ou la première des suivantes
d8 { di
: da:
(16) L —— Toi —— » B—=—r = To T0 Us : ARE . “Æ
et d'autres analogues.
Pour établir la relation (15), nous avons admis que les deux perpendiculaires Py', P'y" à la surface o, se rencontrent en un point 0. Pour le démontrer, on sait que, dans un système triplorthogonal, les intersections d’une surface d'un quelconque des trois systèmes par les surfaces de deux autres
sont les lignes de courbure de cette surface.
aN; A4 CA Er ) , NE N; (2 I ) À (+ [ 1e has —| — — — + = —|— + —)T;, — = + DE — 0, ARC re doi re do2 710 d T20 Le r10 l20 ro2 UE “ rot or :
aT: A @ er ei (E =) en + En (à 1 je T,+DF;,= 0 do do: do: ro1 To1 To T'a1 ro2 12 T20
ae y Tip, dNs Ni Ni (CE re 2 AMUnEE ET DE do dei do: To2 12 ro2 r12 ro1 Pa1 710 Pa0 /
LES. ENVELOP
Or les perpendiculaires élevées des points de chaque ligne de courbure. d’une surface constituent une surface développable. Donc les deux perpendiculaires se rencontrent en un point.
Il y a exception quand l’arête de rebroussement est rejetée à l'infini, c’est-
à-dire quand la surface développable est cylindrique. Dans ce cas &, ne
varie pas d’une normale à
rive, il faut ou que la ligne
, da l’autre et — ds
s soit une ligne droite et alors r,,—, ou que cette
ligne s n’est pas droite et alors la surface 1 doit être un plan, et dans ce cas
CRCOrCEr:— co; done, dans
les deux cas, l'équation (15) ou les relations (16)
sont satisfaites identiquement.
Les relations (16) nous donnent d(a«i, Bi, Y1) Le œ, 6, ï d(», B>, #2) … de, 6, Y d = ? k l= ; #e 101 ds To2 (17) {hi UE a Put, CE Bo. Y2) ___ ©, Bo dpi 710 ' doi 12 d(«, , re) a, Bo, V2 d(@, B:, RS GI Bo, 2 la TE te Para à ho e s \ p2 HT) do: rai
D'autre part, une des
relations (13 bis) nous donne
} ( da ” du: ra, das He Dee da da: ” et, en y substituant les valeurs de k ae rs on a la première des suivantes VA d(«, 8, Li) B:, Y1 ae Œ;, B>, V2, do To1 To d(æ, 8, V1) = 2, B>, 2 a; 8, ÿ ES, AU doi é T2 E 0 Te Bo, 2) LANCE 8, né Li; Bi, né do T20 Toi
En substituant ces valeurs vantes
à l'équation (14), on trouve la première des sui-
— 0; d'autre part, pour que cela ar-
2/4 C. MALTÉZOS.
qui sont les équations d'équilibre d’élasticité en coordonnées curvilignes. Les équations du mouvement vibratoire s’obtiennent de ces équations en remplacant DF, DF,, DEF, par
dÆR dR; dR:
À qe A TRES Cas d’une enveloppe solide mince. — Les équations (19) impliquent
que l'origine mobile des coordonnées peut se mouvoir dans tout le volume du corps.
Soit maintenant, comme corps solide, une enveloppe mince, constituée par des feuillets appartenant à la famille des surfaces 2,: les deux faces seront données par les équations
Pa=—"1), D avec Te 1 — UT
1, 1, n’ étant des constantes, et supposons que l’origine ne puisse pas sortir de la surface moyenne. Pour cette surface (2, —0), les deux lignes de courbure sont désignées par s° et s°, et À et , se réduisent à 2° et k°. Si nous choisissons l'enveloppe telle que chaque point du feuillet moyen se trouve à égale distance (en arc s,) de deux faces de l'enveloppe et si les feuillets, qui remplissent l’espace entre chaque face et la surface moyenne ainsi définie, sont disposés de facon que, quand on passe de l’un à l’autre, », change uniformément, alors do; ds; celui de la matière homogène). Les courbures de la surface moyenne et de deux autres surfaces qui passent perpendiculairement à l'un de ses points, pris au point même, seront désignées par ay, (*).
Prenons maintenant le point P sur la surface moyenne et construisons-y un parallélépipède curviligne de base (ds°, ds° ) et de hauteur s,
— }, sera indépendant de 2, (comme cas particulier on peut citer
(1) On ne peut pas toujours trouver deux systèmes (2 et p,) de surfaces orthozonaux entre eux et au système p2. Mais alors on peut tracer les lignes de courbure s* et s? sur la surface moyenne et mener les normales à cette surface qui, vu la petitesse du champ d'existence de ces surfaces, peuvent être censées normales à ces surfaces: alors les axes seront les deux tangentes aux arcs sç et s{(x', y') et la petite normale (z’). Quand Fépaisseur n’est pas trop faible, on peut préférer une autre manière de procéder. On tracera les lignes de courbure s et s, et les trajectoires orthogonales des surfaces 2: les tangentes en chaque point à ces trois lignes seront les axes (z', y’, z').
LES ENVELOPPES SOLIDES MINCES. LES CLOCHES. 20 (qui est très petite). Du point Q menons l'arc parallèle à PP’ et du point P' l'arc parallèle à PQ; on aura QQ'— PP'= QQ'— QN— M'0Q à un infiniment petit d'ordre supérieur.
Or les triangles curvilignes M’P/Q' et HP'M sont semblables, comme
rectangles en Q'et M, et l’on a
M'Q'__P'Q' P'Q' MH PM PQ’
d'où PO!
ds, — ds? = MH PQ
En menant les cordes QP et MP’ (ég. 1), dont les différences avec
les ares correspondants sont des infiniment petits du troisième ordre par rapport à l'arc, on trouve
MH — — ds9s,a,, et de même PQ À)
— 1 dsf.
Donc, finalement,
(20) ds, = ds? (1— a,352),
ét, de même,
(21) ds = ds (1 — A9» 55).
26 C. MALTÉZOS.
Si done on veut ramener les forces agissant sur des faces infiniment petites ds ds,, ds, ds, aux faces agissant sur ds° ds,, ds’ ds,, 11 faut multiplier les forces suivant l’axe des +’ par (1 — a,,s,), celles suivant l’axe de y’ par (1 — a,,s,) et celles suivant l’axe de z’ par l’unité.
Les équations ainsi obtenues, multipliées par dp, et intégrées de — n° à p», sont
