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qu'il faut introduire dans les équations (22). Les courbures qui y entrent ne peuvent pas devenir infinies; d'autre part, les dérivées en s° et s° des N!, N!, T', et les termes DF, DF,, DEF, sont du même ordre de grandeur que N;, N;, T;, tandis que les dérivées de T;, T, sont comparables à T', T!. D'où il résulte que, vu la petitesse des limites de l'intégration, T!, T,, N° sont très

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LES ENVELOPPES SOLIDES MINCES. LES CLOCHES, 2277 petits par rapport à N°, N,, T,. On peut donc poser, en première approximation,

(24) : (Ts 2 \3)= 0.

Il est à remarquer que, dans le cas des enveloppes courbes, T,, T,, N, sont du même ordre de petitesse, tandis que, dans les plaques planes, N, était infiniment petit d'ordre plus élevé que T!, T,.

Méthode géométrique. — Nous allons retrouver les équations élastiques en supposant l'origine mobile sur la surface moyenne, par une marche géomé-

trique qui est plus simple et claire.

En prenant, dans la figure ci-dessus, toutes les dimensions comparables (c'est-à-dire ds, au lieu de s,), on aura

aire AA'BB' — ds, — dosis{i — (49 + G29) d59 ], aire A'B'O'P'= ds, = dsga[1 — (201 + 421) ds ]. aire BB'QQ' = d5°,, = dsgs[1 — (492 + 432) ds» |.

Les forces élastiques suivant une bande limitée par les deux faces de l'enveloppe dont les équations, comme on a vu, sont 6, —=— 1, 2, — 1", sur les faces do:, do et d55, et suivant les axes de x’, y', z', sont

nr” (25) P: = Ê Ni(1— 43252) doa, Q= f T;,(1— 43952) do, '— [ T1 — 5283) ds,

1 er 74

u' L'a 1 (25 bis) Q>— [ T;,(1— 45252) do», P— f N,(1 — 49252) do, Vs — f T(1 — dys83) ds», y =

Lu j (51e) [ Move, [ T, de, [ N°, da.

Pour former les équations d'équilibre élastique, il faut égaler à zéro séparément les projections de toutes les forces élastiques sollicitant le parallélépipède curviligne suivant les axes des z', y’, z'. Les faces correspondant 4 ds: et ds',, donnent sur l’axe des z'

dP PR cos(s8.s) . cos(s,. 5j ce (26) (P,< 2%) ds, — Pi dise + [os VE | ds dsi ds,

les faces ds: et ds,,

qd cos(s,s°) , <os(5,. 8) Te ds? ) di63— Qs dur + | Pr — Te — + Ve rc ds dsŸ ds. |

(26 bis) (o:+

28 C. MALTÉZOS.

Enfin, les faces do,,, do, sont situées sur les deux faces mêmes de l’enveloppe; elles donnent, par conséquent, zéro par hypothèse ou, plus généralement, sur l’une des faces la pression est nulle et sur l’autre ñ,;, ñ,, ñ:. D'autre part, cos(s',s) est le cosinus de l’angle que fait la tangente à l'arc s, ou P,:, avec la tangente à l’arc s°; or, les cosinus directeurs de P,:, par

rapport aux axes fixes, sont &, B, y, et ceux de la tangente à l'arc s; sont

3 + ds, Bi + ss ds, Je ds. On obtient de la sorte

cos(s1,5) x . ras (7? ds ds re arr

ou, en vertu des relations (17) et (18), la première des équations suivantes :

COS ES) I Cos(S,,5) 1 COS CA 62) — , = — = ,— , ds roi ds ro2 : ds» P2] COS CAES) ï cos(s,,s) 1 Cos(s, sa) 1 CD a ; = —;, ds; r10 dS2 T20 ds; T2

Cos(s2,s) à: cos(s:,s) __ COS(51, 52) ve ds: dSs2 ds

En prenant la dérivée de la formule aa + PB: + T0, par rapport à s et en tenant compte de (27), on trouve

cos(si,s) ES Cos(s", 51)

ds ds

D'où la formule générale COS( 5%, 57) + COS(S7, 5x) = 0.

Si l’on substitue dans les expressions (26) et (26 bis), elles deviennent

dP ï É — (&0+ @20) Pi — a Qi ao Vi] ds ds? ds3,

dQ:

ee — (21 + Qo1)Q2 + ao, | ds° ds? ds.

led le a

On aura donc la première des équations suivantes

| dP1 dQ: F .

Dr TA NE TC ÈS (10 + @20)E 1 + 10 Pa — &y1 Qi — (&o1 + Gi) Q ds ds{ V2 1" — A2 Vi + Ty + j DF do: = 0, Cr

dQ1 dP; 5 AT + &nl 1— (@o1 + Qu) Pa —(@10 + &20) Qi — 10 Q2 Ë s1

(29) « ” — AVi+rTy+ DPF do: = 0, "1 dV; dVa . - PAT + ds (&io + &@20 ) V1 — (&@oi + Q21) Vo + @02P: " | + A2 Po + TT + { DF:'do>—0;,

qui sont les équations (22), où la limite supérieure 9, des intégrales est remplacée par n”.