XXIV. — Méthode des sections et des moments statiques

La méthode des sections, généralement employée dans l'étude des systèmes déformables, fournit un moyen précieux de vérification.

Si Von suppose que Von fasse dans la travure une section idéale, dans chacune des parties obtenues y les forces externes et les réactions des pièces rencontrées par la section se font équilibre.

Si trois seulement de ces réactions sont inconnues, on peut les déduire de la condition d'équilibre, puisque le problème qui consiste à décomposer une force P en trois composantes dont les

(*) Mémoire de 1870, p. 3o, ..., déjà cité.

lignes d'action 1,2,3 sont données et forment avec 0, ligne d'action de P, un quadrilatère plan complet est déterminé et admet une seule solution. En effet {fig* 6), il suffît de mener une des diagonales du quadrilatère, par exemple la droite 4 qui réunit les points (0 . 1), (2 . 3), de décomposer la force donnée en deux conaposantes suivant les droites 1,4 (et l'on y arrive, en construisant le triangle des forces 0,4,1, dont le côté o est donné en grandeur et direction) ; et enfin de décomposer la force 4 suivant les droites 2 et 3 (en construisant de même le triangle des forces 4? 3, 2).

Cette méthode, qui pourrait s'appeler iï/^^Aorfe statique, suffit à elle seule pour la détermination graphique des forces internes, aussi bien que la méthode géométrique, exposée précédemment, qui se déduit de la théorie des figures réciproques et qui exige la construction successive des polygones correspondant aux différents nœuds de la travure. La méthode statique paraît cependant moins simple , et il semble qu'elle doive plutôt être utile en combinaison avec la première, dont elle permet de vérifier rapidement [es constructions. Les forces externes appliquées à une portion de la travure, obtenue par une section quelconque, et les réactions des pièces coupées doivent jouir de cette propriété, que les lignes correspondantes du diagramme b forment un polygone fermé. Ce polygone doit être la projection d'un polygone fermé et non pas d'une figure dont les extrémités soient situées sur une droite perpendiculaire au plan orthographique : cette condition exige que le polygone gauche réciproque soit fermé, c'est-à-dire que l'on puisse réunir les lignes correspondantes du diagramme a par un polygone funiculaire fermé.

On peut encore présenter sous une autre forme la méthode des sections. En représentant encore par la résultante de toutes les forces connues appliquées à la portion considérée de la travure et par 1,2,3, les trois réactions inconnues, la somme des moments de ces quatre forces par rapport à un point quelconque est nulle. Donc, en prenant comme centre des moments le point de rencontre de deux lignes de résistance, par exemple le point (2.3), le moment de la troisième réaction 1 sera égal et opposé au moment de la force 0. On obtient donc, entre quatre grandeurs (les deux forces et leurs bras de levier), une proportion dans laquelle la seule inconnue est la grandeur de la force 1. C'est en

cela que consiste la méthode des moments statiques dont on se sert lorsque l'on veut calculer numériquement (et non pas construire graphiquement) les forces internes qui se développent dans les différentes barres des Iravures réticulaires (*).

XXV. — Application des méthodes précédentes à l'étude de quelques

exemples.

i"* Passons maintenant à l'étude de quelques exemples propres à mettre en évidence la simplicité et l'élégance de la méthode graphique. On n'a pas recherché dans les travures que l'on va étudier la régularité et la symétrie de forme, quoique dans la pratique on ne renonce presque jamais à ces deux conditions. Mais les formes symétriques de la pratique ne sont que des cas particuliers des formes irrégulières qu'étudie la Géop)étrie abstraite. C'est pourquoi l'étude que l'on va faire permettra de traiter tous les cas qui pourront se présenter dans la pratique. Dans la suite, l'expression de travure réticulaire sera prise dans le sens général et théorique que Maxwell attribue au mol f rame:

« On entend ^^t frame un système de barres réunissant un nombre quelconque de points. On appelle 5f(^-/ram« un système dans lequel la distance entre deux points quelconques ne peut être altérée qu'en changeant la longueur d'une ou de plusieurs barres du système (*). »

On étudiera ici seulement les figures planes et formées par des triangles justaposés.

2" Soient 1,2,3. . .,10 {fig* 7îa) un système de dix forces externes en équilibre; construisons le polygone des forces correspondant et projetons ses sommets d'un pôle arbitraire o [fig* 7 (b) dans laquelle le polygone des forces est représenté par des lignes doubles]. Traçons ensuite un polygone funiculaire dont les côtés soient respectivement parallèles aux rayons projetants successifs issus de o(Jig, b) et dont les sommets se trouvent sur les lignes d'action des forces 1,2,..., 10. Les forces considérées sont appli-

O Voyez A. Ritter, Elementàre Théorie und Berechnung eiserner Dachund Briicken-Constructionen, a* édition ; Hannover, 1870.

(*) « A frame is a System of Unes Connecting a number of points. A stiff-frame is one in which the distance between any two points cannot be altered without altering without the length of one or more of the Connecting lines of the frame. »

quées aux différents sommets d'une travure réticulaire, dont les barres sont indiquées par des numéros croissant depuis 11 jus-

qu'à 27 {fig. a).

On commence par construire le triangle correspondant au nœud (10.11.12) en menant par les extrémités de la droite lo deux droites 11,12 respectivement parallèles à 11 et 12 ; et l'on remarque que la droite 11 doit passer par le point (i.io) puisque, dans le diagramme a, les lignes 1, 10, 11 appartiennent au contour d'un même polygone (*) et que, pour la même raison, 12 doit passer par le point (9.10). En parcourant le contour du triangle ainsi obtenu, dans un sens contraire à celui de la force 10, on obtient le sens des actions qui s'exercent sur le nœud que l'on considère, le long des lignes 11 et 12; on voit ainsi que la pièce 11 est soumise à à la compression et la pièce 12 à la tension.

Construisons le quadrilatère correspondant au sommet auquel est appliqué la force 9, et pour cela, menons i3 par le point (11. 12) et 14 par le point (8. 9). La barre 13 est comprimée; la barre 14 est distendue.

Construisons le pentagone correspondant au nœud auquel est appliquée la force 1, en menant i5 par le point (i3. i4) et 16 par le point (i. 2). Le pentagone ainsi obtenu est entrelacé.

La barre 15 est distendue, la barre 16 comprimée.

Construisons le pentagone correspondant au sommet auquel est appliquée la force externe 8; pour cela, menons la ligne 17 par le point (i5. 16) et la ligne 18 par le point (7. 8). La barre 17 est comprimée, la barre 18 distendue.

En continuant de la sorte on trouve toutes les autres forces internes. La dernière construction partielle donne un triangle qui correspond au point d'application de la force 5. Sont comprimées les barres 20, 21, 24, 25, 27; sont distendues les barres 19, 22, 23, 26.

3** La fig, 8. a représente un pont, aux nœuds ou sommets duquel sont appliquées les forces 2,3, . . ., 8,10, . . . ,16 qui sont toutes verticales; les forces 1 et 9 dirigées de bas en haut

(•) Polygone qui n'est autre qu'un quadrangle, dont le quatrième côté est le côté du polygone funiculaire compris entre les forces i et 10. Gomme on l'a déjà dit ailleurs (n"" XV, XVIII), le polygone funiculaire pourrait s'éloigner tout entier à l'infini.

représentent les réactions des points d'appui ; les forces 2, 3, ... ,8 sont des poids appliqués aux nœuds de la table supérieure, et 10, 11, . . .,16 sont des poids appliqués aux nœuds de la table inférieure.

Les forces sont prises dans l'ordre dans lequel on les rencontre en parcourant le contour de la travure ; et dans le diagramme b les côtés du poljgone des forces externes sont disposés dans le même ordre.. Ce polygone a tous ses côtés situés sur une même droite verticale; la somme des segments i ,9 est égale et opposée à la somme des segments 2, 3,..., 8,10,1 i,...,i6, puisque le système des forces externes est en équilibre.

Le diagramme b se complète en observant les règles exposées précédemment. Commençons par le nœud (1.17.18); menons la droite 17 par le point (1.2) qui est en même temps l'extrémité du segment i , dirigé de bas en haut; et l'origine du segment 2 dirigé de haut en bas, et la droite 1 8 par le point ( 1 6 . i ) qui n'est autre que l'extrémité du segment 16 dirigé de haut en bas et l'origine du segment ï.

Passons au nœud (2. 17.19.20). Menons 19 parle point (17. 18) et 20 par le point (2.3) extrémité de 2 et origine de 3 (segments dirigés tous deux de haut en bas) ; nous obtenons ainsi le polygone 2,17, 19,20 qui est un rectangle.

Construisons le polygone correspondant au sommet (16.18.19. 21.22). Pour cela menons 21 pour le point (19.20) et 22 parle point (i5. 16) : nous obtenons ainsi un pentagone entrelacé. On continuera de la même façon, pour les points d'application successifs des forces 3, 15, 4, 14, 13, 5, 12, 6, 11, 7, 10, 9.

Comme le diagramme a, qui représente le dessin de la travure et l'ensemble des forces externes, possède un axe de symétrie qui n'est autre que la verticale qui passe par le milieu de la figure, le diagramme b aura pour axe de symétrie l'horizontale médiane. Par exemple, le triangle 9,4S»44 ^st symétrique du triangle 1,17,18; le rectangle 8, 45 > 43, 4^ ^st le symétrique de 2, 17, 19,20; ...

Tous les éléments de la table supérieure sont comprimés, tous ceux de la table inférieure sont au contraire distendus.

Les étrésillons et contre-étrésillons sont tous comprimés; enfin deux des poinçons 23 et 39 sont distendus et tous les autres sont comprimés.

4° La fig, 9. a représente la moitié d'un hangar à locomotives (*).

Les forces externes sont les poids 1,2,3»4»5 appli':]ués aux nœuds supérieurs de la ferme, et les réactions 6 et 7 du mur et de la colonne. Là encore toutes les forces externes sont parallèles, et par conséquent le polygone des forces se réduit dans le diagramme b à une droite. La force 6 (prise en sens contraire à celui qu'elle a réellement) est égale à une certaine partie du poids 5; en ajoutant la différence aux autres poids, on a la grandeur de la force 7.

Dans le diagramme b, les directions des lignes 8 et i3 coïncident; la première est une portion de la seconde. On a donc ici pour le polygone correspondant au sommet (8 . 10 . 12 . 13) une de ces formes dégénérées dont nous avons parlé au n° XX; ce polygone est en effet un quadrilatère 8, 10, 12, 1 3 dont trois sommets (i3.8), (8. 10), (12. i3), sont en ligne droite.

Le polygone 5. 17. 18.6, correspondant au point où la ferme s'appuie sur le mur, présente une forme dégénérée analogue, car les sommets (6.5), point le plus bas du segment 6, (5. 17) et (18.6) se trouvent sur une même ligne droite.

Les barres inférieures 8, 13, 18 sont comprimées, ainsi que les liens 10,14,16; la colonne 7 et le mur 6; les barres supérieures 9,11,15,17 et le lien 12 sont distendus.

5° Le diagramme a de \dijig, 10 représente une ferme aux nœuds supérieurs de laquelle sont appliquées les forces obliques 1 ,2, ... ,7 que Ton peut considérer comme les résultantes de la pesanteur et du vent; les forces 8 et 9 représentent les réactions des points d'appui.

Le polygone des forces externes est tracé dans le diagramme b en lignes doubles. On a construit successivement le triangle 1 . 10. 1 1 , le quadrilatère 9. 10. 12.1 3, le pentagone 2.1 i.i2.i4.i5, le quadrilatère i3. 14. 16. 17, le pentagone entrelacé 3. i5. 16. 18. 19; le quadrilatère entrelacé 4- '9-20.21, et le pentagone 17.18.20. 22 . 23 . . .

Les barres supérieures 15, 19, 21, 25 sont comprimées ainsi

(') Cet exemple est tiré de la PI. XIX de l'atlas de Graphische Statik, de CcLMANN (i" édition). Dans cet exemple, les deux diagrammes ne sont pas rigoureusement réciproques, comme je l'ai déjà dit.

que les barres inférieures 10, 13, 30 et les poinçons 12, 16, 24, 28; sont au contraire distendues toutes les autres barres de la ferme.

6** Le diagramme a dela^î^. ii représente un pont suspendu, chargé à chacun de ses nœuds supérieurs de poids 1,2, ... ,8, et à chacun de ses nœuds inférieurs de poids 10, 11, 12 ». ..y 16 ; ces poids sont maintenus en équilibre par les deux réactions obliques 9, 17 émanant des points extrêmes de la travure(^).

Le polygone des forces externes a ses huit premiers côtés échelonnés sur une même ligne droite verticale et ses sept derniers côtés lo, II, ..«, 1 6 situées sur une autre droite verticale. Les côtés obliques 9 et 1 7 se coupent, de telle sorte que le polygone a un contour entrelacé.

Nous avons construit successivement les polygones 1,17,19,18; 16,19,20,21; 2, 18, 20, 22, 23; i5, 21, 22, 24, 25; 3,23,24,26,27;..., qui sont la plupart entrelacés.

Le diagramme b, montre que les barres supérieures sont toutes tendues et que la tension décroit des extrémités au milieu de la travure ; que les barres de la table inférieure sont aussi toutes tendues, mais que la tension décroît du milieu aux extrémités de la travure.

L'étrésillon et le contre-étrésillon extrêmes sont tendus; dans la portion située à gauche de l'axe de symétrie, les étrésillons ou bracons sont tendus, tandis que les contre-étrésillons ou contrebracons sont comprimés. Dans la portion située à droite de Taxe de symétrie, c'est l'inverse qui a lieu. En considérant séparément les barres tendues et les barres comprimées, on voit que les forces internes décroissent des extrémités au milieu de la travure.

Dans cet exemple encore, les diagrammes ont un axe de symétrie.

7" Le diagramme a de X'ujig, 12 représente une grue réticulaire; le poids de la machine est réparti sur les différents nœuds, et est représenté par l'ensemble des forces 1,2,3, ...,9; la force 5 représente le poids accidentel que doit porter la grue.

Toutes ces forces sont maintenues en équilibre par les réactions des points d'appui, dont les grandeurs s'obtiennent en décompo-

(*) Cet exemple est analogue à Tun de ceux qu'étudie Maxwell dans son Mémoire de 1870.

sant le poids résultant en trois forces dirigées suivant les lignes 10>llyl2. Ces forces, prises en sens contraire, fournissent déjà les pressions que supportent l'arbalétrier 10, la colonne 11, et la tension supportée par le tirant 12.

La détermination des forces externes se lait de la façon suivante: On prend sur une même verticale, des segments qui représentent les grandeurs des forces i , 2, 3, . . . , 9 et on choisit arbitrairement un pôle; on projette de ce pôle les points (o.i), (i .2), (2.3), . . . , (8.9), (9.o) (*) et l'on construit le polygone funiculaire correspondant. La verticale qui passe par le point de rencontre des côtés extrêmes (0.1), (9«0) sera la ligne d'action du poids total de la grue, poids dont la grandeur est représentée par le segment qui a même origine que le segment 1 et même extrémité que le segment 9. Si maintenant, on décompose ce poids résultant qui est connu, en trois composantes, dont les lignes d'action soient les droites 10, 1 1 , 1 2, en employant des construction's données n° XXV Gt Jiff. 6, on obtiendra les trois forces 10, ii, 12. Celles-ci, prises en sens contraire, et les poids donnés forment le système complet des forces externes.

Pour obtenir le diagramme b, on construira d'abord le polygone des forces externes, en prenant ces forces dans l'ordre dans lequel on les rencontre en parcourant le contour de la travure. Puis on construira successivement les polygones correspondant aux nœuds: (5.13.14), (4.13.15.16), (6.14.15.17.18),... d'après la méthode déjà exposée.

Le diagramme qui en résulte fait voir que les barres de la partie supérieure sont tendues, et que celles de la partie inférieure sont comprimées ; quant aux étrésillons, ils sont alternativement tendus et comprimés.

(') Ici (o.i) représente l'origine du segment i, et (9.0) l'extrémité du segment 9. Dans la figure, les rayons, issus du pôle et les côtés du polygone funiculaire correspondant, sont tracés en traits pointillés.