II. — Coniques des forces et coniques funiculaires

Si la courbe funiculaire est une section conique, la ligne des forces externes est aussi une section conique.

Soit (S) la conique funiculaire (Jig- i4) à l'arc ALBde laquelle nous supposons appliqué un système de forces continues passant par un point O. D'après les propriétés connues des lignes funiculaires, les tangentes menées à l'arc à ses deux extrémités A et B se coupent en un point G appartenant à la résultante de toutes les forces appliquées à cet arc de conique funiculaire AB ; or toutes les forces passent par un point O ; donc GO est la ligne d'action de cette résultante.

Soit P le pôle de la figure des forces. Le système des forces i et 2 est équivalent à l'ensemble des forces données ; si donc on se donne la pression ou la tension le long de la funiculaire en A, par exemple, on peut construire le triangle PMN qui donne la grandeur de l'autre tension a' et celle de la résultante r'.

Pour avoir un point Q quelconque de la ligne des forces, on opérera de la façon suivante :

Menons une tangente quelconque ELD à l'arc funiculaire; le point de rencontre D de cette tangente avec la tangente GB est un point de la résultante des fprces appliquées le long de l'arc BL, résultante dont la ligne d'action n'est autre que la droite DO. Si nous menons par N une droite parallèle à DO et par P une parallèle à DL, le point d'intersection Q appartiendra à la ligne des forces, et la ligne PQ représentera la grandeur de la tension au point L de la conique funiculaire.

Remarquons tout d'abord que l'on eût pu construire le point Q^ en menant par le point M une parallèle à EO et par le point P une parallèle à EL. L'intersection de ces deux lignes eût donné le même point Q.

Gela est évident, au point de vue mécanique, car les tensions en L se font équilibre.

On sait (*) que, lorsqu'une tangente roule sans glisser sur une

(' ) Voi/'j par exemple, Crehon.v, Éléments de Géométrie proj'ectwe, n« 113.

section conique, elle détermine sur deux tangentes fixes deux ponctuelles projectives, qui sont telles que le point de contact de l'une est le point correspondant à leur point d'intersection, considéré comme appartenant à l'autre. Or, en joignant deux ponctuelles projectives à un même point O, on forme deux faisceaux projectifs. Transportons dans le plan les faisceaux issus de O, de façon que leurs centres respectifs soient l'un en M, l'autre enN; Jes points d'intersection des rayons correspondants se trouveront sur une section conique qui passe par les points M et N.

La tangente en M à la conique des forces est le rayon correspondant au rayon MN, considéré comme appartenant au deuxième faisceau ; or le point A est le point correspondant au point C considéré comme appartenant à la ponctuelle 2, et OA est le rayon correspondant au rayon OC du faisceau (0,2); par conséquent la tangente en M à la conique des forces est parallèle à OA. De même la tangente en N est parallèle au rayon OB.

III. — Correspondance entre la conique des forces et la conique funiculaire.

De la dernière propriété énoncée relativement au parallélisme des tangentes en M et N à la conique des forces et des rayons OA et OB, il résulte certaines correspondances que nous allons énumérer.

Les deux quadrilatères complets OACB et PMNR se correspondent, et AB est parallèle à PR. Chacun des deux quadrilatères se compose de deux tangentes, de la corde de contact et de trois rayons dont deux passent par le point de contact des tangentes et le troisième par leur point commun.

Les éléments placés en regard dans le Tableau suivant se correspondent :