DANS LA FIGURE DES SEGMENTS

Rayons des deux points de contact M et N.

Tangentes en M et N. •

Rayon qui passe par le point de concours R des deux tangentes.

Corde de contact MN.

DANS LA FIGURE DES LIGNES d' ACTION.

Tangentes aux points A et B.

Rayons des points de contact A et B.

Corde de contact AB.

Rayon qui passe par le point de concours C des deux tangentes.

Il en résulte que, si l'on considère la conique des forces comme étant la funiculaire, les lignes d'action des forces concourant au point P, la conique funiculaire devient la conique des forces ayant pour pôle le point O.

Si l'on substitue aux forces réparties sur les arcs AB, BL, LG, GA les forces concentrées équivalentes et à la conique funiculaire un polygone circonscrit, le polygone des forces sera inscrit dans une autre conique.

Enfin si un polygone funiculaire est inscrit dans une conique, le polygone des forces est circonscrit à une autre conique.

IV.— Variation de l'espèce de la conique des forces avec l'espèce de la conique

funiculaire.

i** Quelle que soit la conique funiculaire , suivant que le point de concours des forces est extérieur, intérieur ou sur la conique, la conique des forces est une hyperbole, une ellipse ou une parabole.

En effet {fig^ i4)> si le point O est extérieur, on peut mener parce point deux tangentes OFG, OKH à la conique funiculaire; les rayons qui projettent de O les points d'intersection de ces tangentes avec les ponctuelles se superposent aux tangentes ellesmêmes ; donc les deux rayons correspondants issus de M et de N sont parallèles et la courbe a des points à l'infini dans deux directions distinctes ; c'est, par conséquent, une hyperbole dont les directions asymptotiques sont parallèles aux droites OF et OH.

Si le point O est sur la conique funiculaire, la conique des forces n'a de points à l'infini que dans une seule direction, qui est celle de la tangente à la conique funiculaire enO ; c'est donc une parabole.

Si le point O est intérieur à la conique funiculaire, la conique des forces n'a plus débranches infinies, puisque l'on ne peut mener par le point O de tangentes réelles à la conique funiculaire : c'est donc une ellipse.

2° Si la conique funiculaire est une circonférence et si les forces passent par son centre, la conique des forces est une autre circonférence ayant pour centre le pôle P {fig* i5).

En effet, menons une tangente fixe AC à la circonférence funi-

culaire et une tangente mobile BC; soit MP la grandeur de la tension le long de la tangente AC. Pour construire la conique des forces, il faut mener par le point P une parallèle PQ à la tangente mobile, et par le point M une parallèle MQ à OC. Mais, OC étant la bissectrice de l'angle ACB, les angles PQM et PMQ qui ont leurs côtés parallèles aux trois droites AC, OC, BC sont égaux et le triangle PMQ est isoscèle. Donc PM = PQ = const., c'està-dire que le point Q décrit une circonférence ayant pour centre le pôle P.

La résultante MQ des forces appliquées à un arc AB va en croissant avec la longueur de l'arc ; elle est maxima et égale au diamètre de la circonférence des forces lorsque l'arc AB devient une demi-circonférence.

3° Si la conique funiculaire est une ellipse et si les forces concourent en son centre O {fig- i6), la conique des forces est une ellipse semblable à la première; de telle sorte que, si le rapport de similitude est V unité, la conique funiculaire est en même temps la conique des forces.

En effet, prenons pour pôle le centre de l'ellipse funiculaire^ et représentons la tension au point Q par le demi-diamètre OB (conjugué de OQ), parallèle à la tangente QR; la tension en un autre point quelconque P sera représentée par le rayon OA parallèle à PR (conjugué de OP) ; la corde AB, qui est équipoUente à la résultante des forces appliquées le long de l'arc PQ, devra être parallèle à OR, ce qui se vérifie du reste par suite des propriétés de l'ellipse.

Si la conique funiculaire est une hyperbole {fig- ï 7) ^^ si les forces concourent en son centre, V hyperbole des forces a ses asymptotes parallèles à celles de la conique funiculaire.

En effet, les forces concourant en un point extérieur à la conique funiculaire, la conique des forces est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux tangentes menées de O à la conique funiculaire, tangentes qui ne sont autres que les asymptotes de cette conique.

Prenons pour pôle de la conique des forces le centre O de l'hyperbole funiculaire et construisons cette conique ; pour cela me-

nons la droite OA parallèle à la tangente PR et égale au demidiamètre conjugué de OP, puis OB parallèle à QR et égal au diamètre conjugué de OQ; le segment AB, équipoUent à la résultante des forces appliquées à Tare PQ, devra être parallèle à OR.

Donc :

U hyperbole des forces est dans ce cas V hyperbole supplémentaire de V hyperbole funiculaire.

4^* Si les forces concourent à Vun des foyers de la conique {au foyer à distance finie pour la parabole), la conique des forces est une circonférence {fi g* i8).

En effet, si AH et CH sont deux tangentes fixes, DE une tangente mobile, QMP et QNP les triangles relatifs aux forces concourant en D et en E, le point Q décrit la conique des forces, car il est le point d'intersection des rayons correspondants de deux faisceaux projectifs ayant pour centres les points M et N. Mais, lorsque la tangente DE se déplace, Tangle DFE est constant, d'après une propriété connue des coniques : donc les faisceaux de centres M et N sont égaux et le lieu des points Q est une circonférence.

5° Si laconique est une ellipse, les tensions varient d'autant moins que la conique est moins aplatie; les tensions deviennent égales lorsque le foyer F coïncide avec le centre, c'est-à-dire lorsque l'ellipse devient une circonférence.

Une corde quelconque de la circonférence des forces, passant par le pôle P, représente la somme des tensions aux extrémités du diamètre de l'ellipse conjugué de la direction de la corde. Si l'on suit la marche d'un rayon vecteur PM, tournant autour du pôle P, on voit immédiatement quelle est la loi de variation des pressions et des tensions qui se développent aux différents points de la conique funiculaire. On a rendu intuitive, dans laj^^. i8, la loi de distribution des forces externes appliquées à l'ellipse, en divisant celle-ci en arcs qui, projetés sur une direction normale aux rayons focaux passant par leurs points-milieu, soijent égaux. On a porté les segments équipollents aux résultantes partielles à partir de la conique et à l'extérieur, puis on a joint les extrémités libres de ces segments. Il est à remarquer qu'il eût été plus rigou-

reux de porter ces segments moitié à l'intérieur, moitié à Texttrieur de la courbe.

6** Si la conique funiculaire est une hyperbole (^fig* 19), on détermine la circonférence des forces aussi facilement que dans le cas précédent.

Pour cela on trace un segment PM représentant la tension en A, on mène PN parallèle à la tangente au sommet C, puis MN parallèle à]FH et le cercle est déterminé. Les rayons PS, PS', tangents à ce cercle, représentent les tensions le long des asymptotes. Les rayons dont les extrémités se trouvent sur l'arc SNS' représentent les tensions le long de la branche ACB, et ceux qui se terminent à l'arc SRS', les tensions le long de la branche opposée A'C'B'. La corde SS'est équipoUente à la résultante de toutes les forces appliquées à chacune des deux branches et aux tensions le long des asymptotes. Les forces externes vont en diminuant comme les forces internes de G vers A et vers B.

7° Si la conique funiculaire est une parabole, le pôle de la circonférence des forces se trouve sur le cercle lui-même, tandis que pour l'ellipse il était à l'intérieur, et pour l'hyperbole à l'extérieur.

En effet, traçons {^fig> 20) le segment PM, équipollent à la tension au point A de la parabole funiculaire ; menons PQ parallèle à la tangente EH en un point quelconque E de la parabole ; la droite FH est la ligne d'action de la résultante des forces appliquées aux différents points de l'arc AE, et MQ est le segment équipollent à cette résultante. Faisons mouvoir la tangente HE : le rayon focal HF tourne autour de F et, par suite d'une propriété connue de la parabole, l'angle EHF est constant. Les points Pet M sont donc les centres de deux faisceaux directement égaux qui engendrent, par l'intersection de leurs rayons correspondants, une circonférence qui passe par le point P.