V. — Point de concours des forces à distance finie

i^ Culmann, dans la seconde édition de son magistral Traité de Statique graphique, ne s'aperçut pas, en exposant le travail

de M. Cremona relatif aux Figures réciproques, que Ton pouvait étendre l'application des formes réciproques dans l'espace aux coniques funiculaires auxquelles il consacre un Chapitre. Ainsi que dans la première édition de son Traité, il déduit la loi de réciprocité et les propriétés projectives, de l'étude d'un système polaire plan.

Je me propose de montrer que l'on peut déduire d'une façon simple et élégante, les coniques funiculaires des formes réciproques de l'espace.

2® On sait que, dans un système polaire dans l'espace, à une surface conique de l'ordre m et de la classe /i, correspond une courbe plane de l'ordre n et de la classe m.

En coupant la surface conique par un plan qui ne passe pas par son sommet et en projetant la courbe, du pôle de ce plan, on obtient deux cônes réciproques.

Supposons maintenant que nous ayons comme, cas particulier, m= n = i\ les deux cônes réciproques sont du second ordre.

Les projections ( ^ ) de pareils cônes réciproques sont deux figures composées chacune d'une conique et d'un faisceau qui la projette du point choisi pour centre de projection.

En interprétant l'une des figures comme étant composée d'un système continu de forces concourantes en équilibre réunies par une courbe funiculaire, l'autre est composée de la courbe (limite du polygone) des forces et d'un faisceau relatif à la courbe funiculaire.

Nous- concluons de là que :

Si le système continu des forces concourantes en équilibre est lié par une conique funiculaire, la courbe des forces est aussi une conique, et si la courbe des forces est une conique, la courbe funiculaire est une conique.

Ce théorème fondamental étant établi, passons à l'examen des propriétés de génération des coniques funiculaires et des divers cas particuliers qui se présentent (2).

(') Les projections seront toutes faites suivant la direction principale, à savoir parallèlement à l'axe central et sur un plan perpendiculaire à celui-ci. (^) Nous traiterons tous les cas qu'étudie Gulmann.

Nous supposerons d'abord qu'aucune des bases des deux cônes n'est parallèle à l'axe central.

3° Comme un plan qui est parallèle à l'axe central a son pôle dans le plan à l'infini, un cône qui n'a aucun plan tangent parallèle à l'axe central aura pour réciproque un cône dont la base n'aura aucun point à l'infini. Cette base sera donc une ellipse.

La projection du premier cône se composera d'une conique et d'un faisceau dont le centre sera intérieur à la conique. En regardant cette figure comme figure des lignes d'action, on conclut que :

Si le point de concours des lignes d^ action de toutes les forces est intérieur à la conique funiculaire, quelle que soit du reste cette conique, la conique des forces est une ellipse.

En regardant, au contraire, cette figure comme figure des segments, on conclut que :

Si le pôle est intérieur à la conique des forces, quelle que soit d* ailleurs cette conique, la conique funiculaire est une ellipse,

4** Si un cône admet un seul plan tangent parallèle à l'axe central (la génératrice de contact est parallèle à la direction principale), la base de l'autre cône a un point à l'infini (cette base a une tangente à l'infini pour droite réciproque de la génératrice de contact). Celui-ci est le point à l'infini de l'intersection du plan de la base (parabole) avec le plan tangent au premier cône.

La projection du premier cône se compose d'une conique et d'un faisceau dont le centre tombe sur la conique. En interprétant cette figure comme figure des lignes d'action, on voit que :

Si le point de concours des lignes d 'action de toutes les forcées tombe sur la conique funiculaire, quelle que soit d'ailleurs cette conique, la conique des forces est une parabole dont les diamètres sont parallèles à la tangente menée à la conique funiculaire au point de concours des forces.

En interprétant la même figure comme figure de segments, on voit que :

Si le pôle tombe sur la conique des forces, quelle que soit

d'ailleurs cette conique^ la Juniculaire est une parabole dont les diamètres sont parallèles à la tangente menée à la conique des forces au pôle,

5** Si un cône admet deux plans tangents parallèles à Taxe central, les deux génératrices de contact ne sont pas parallèles à la direction principale et la base du second cône aura deux points à rinfini. Les tangentes en ces points (asymptotes) sont les réciproques des génératrices de contact du premier cône.

La projection du premier cône se compose d'une conique et d'un faisceau dont le centre tombe en dehors de la conique. En interprétant cette figure comme figure des lignes d'action, on conclut que :

Si le point de concours des lignes d'action tombe en dehors de la conique funiculaire, quelle que soit d'ailleurs cette conique, la conique des forces est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux tangentes que Von peut mener du point de concours des lignes d'action des forces à la conique funiculaire.

En l'interprétant comme figure des segments, on conclut que :

Si le pôle est extérieur à la conique des forces, quelle que soit d'ailleurs cette conique, la funiculaire est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux tangentes que l'on peut mener du pôle à la conique des forces,

6^ Ainsi il est démontré que :

Quelle que soit la conique funiculaire, suivant que le point de concours des lignes d'action des forces tombe à l'intérieur de cette courbe, sur elle ou en dehors, la conique des forces est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, et que, quelle que soit la conique des forces, suivant que le pôle est à l'intérieur de cette courbe, sur elle ou en dehors, la funiculaire est une ellipse, une parabole ou une hyperbole.

Il résulte de cela que si, par exemple, la conique funiculaire est une ellipse et si le point de concours des lignes d'action des forces

est intérieur à cette courbe, la conique des forces est une ellipse et le pôle est à l'intérieur de la courbe. Si la conique funiculaire est une parabole et si le point de concours des lignes d'action est extérieur à cette courbe, la conique des forcés sera une hyperbole et le pôle tombera sur cette courbe, etc.

7** Supposons que le système des forces qui détermine un système polaire ait été composé de façon à obtenir une résultante de translation et un couple de rotation. Soit P| P le segment de la résultante de translation qui est parallèle à l'axe central. Les plans polaires iZi et tu des points P| et P sont parallèles. Soit n' une ellipse ayant pour centre P<; si une droite enveloppe cette courbe, sa réciproque engendre une surface conique de sommet P|, qui coupe le plan u suivant une ellipse égale à la première et semblablement placée. On obtient ainsi un cône qui est réciproque de celui qui a pour base la première ellipse et qui a pour sommet le centre P de la seconde ellipse.

Les projections des deux cônes se confondent ensemble en une ellipse unique projetée du centre. Ainsi :

Si la conique funiculaire est une ellipse, et si les lignes d'action des forces concourent en son centre, V ellipse des forces lui est semblable (égale), est semblablement placée et le pôle en est le centre.

Si les deux coniques sont des hyperboles, l'une d'elles est conjuguée de l'autre.