CALCUL DES TRAVURES RÉTICULAIRES CHARGÉES AUX NŒUDS

XIL — Problèmes relatifs aux travures réticulaires.

On peut se proposer de résoudre deux problèmes relatifs aux travures réticulaires, à savoir :

1° Etant données les pressions et les tensions que peuvent et doivent supporter les barres d^une travure, ou, ce qui revient au même, étant donnés les dimensions des différentes pièces et le taux auquel on fait travailler la matière qui les compose, trouver les forces externes que Von doit appliquer à chacun des nœuds de la travure pour la maintenir en équilibre,

2*^ Etant donné un système de forces en équilibre appliquées aux nœuds d'une travure réticulaire donnée, trouver les pressions et les tensions auxquelles sont soumises les barres qui composent cette dernière.

Xin. — Solution du premier problème.

Le premier problème revient à celui-ci, qui est bien facile :

Étant donné un système de forces concourantes, trouver la résultante de ce système.

Pour le résoudre, il suffit de construire les polygones relatifs à chacun des nœuds de la travure {fig- 21). Les segments de fermeture de chacun de ces polygones seront ceux des forces externes qu'il faut appliquer aux nœuds correspondants.

Si l'un de ces polygones se fermait tout seul {fig, 22), cela proii-

verait qu'il n'est besoin d'appliquer aucune force au nœud relatif à ce polygone.

En réunissant tous ces polygones fermés, de telle sorte que leurs segments de fermeture se succèdent, ceux-ci forment un polygone fermé; car toutes les forces externes, ainsi déterminées, se font équilibre. Et, en effet, ces forces forment un système équivalent à un autre système composé de forces égales deux à deux et de sens contraires.

La figure ainsi obtenue est ce que l'on nomme le diagramme des forces.

Chaque barre étant commune à deux nœuds, le segment qui lui est relatif devra paraître dans chacun des deux polygones relatifs à ces nœuds ; par conséquent, dans le diagramme, chaque segment sera répété dans deux sens opposés, mais une seule fois en position distincte.

Le diagramme varie avec l'ordre dans lequel se succèdent les polygones relatifs aux différents nœuds; mais il se compose toujours d'un polygone fermé relatif aux forces externes appliquées aux nœuds de la travure et d'un polygone fermé relatif aux composantes de ces forces suivant les barres de la travure.

La travure peut être com,plète ou incomplète, suivant qu'elle est formée de N nœuds et de la totalité des barres qui joignent ces nœuds deux à deux, ou d'une partie seulement de ces barres.

Lorsqu'on peut parcourir la travure suivant un contour fermé, sans omettre de nœud et en ne passant qu'une fois sur chacun d'eux, on construit le diagramme des forces en ayant soin de faire succéder les polygones qui le composent dans le même ordre que celui dans lequel se succèdent les nœuds en parcourant le contour de la travure; en outre, on construit chaque polygone, de telle sorte que ses côtés extérieurs soient ceux qui sont relatifs aux deux barres de contour qui concourent au nœud correspondant. Tous les segments relatifs aux barres du contour sont alors répétés sur eux-mêmes.

Dans le diagramme, le polygone fermé, formé de tous les segments relatifs aux forces composantes agissant suivant les barres, se compose alors d'un polygone qui est relatif aux barres diagonales et des segments doubles relatifs aux barres du contour qui

réunissent un certain nombre de sommets de ce polygone à ceux du polygone des forces externes.

Le polygone relatif aux barres diagonales peut avoir ses côtés répétés sur eux-mêmes et alors il se présente sous la forme d'une figure ouverte qui réunit les segments relatifs aux barres du contour. Ce polygone peut encore avoir quelques-uns de ses côtés et même tous ses côtés répétés en position distincte et quelques sommets libres. Si les actions qui s'exercent suivant les barres diagonales étaient nulles, ce polygone se réduirait à un point et la travure à un polygone funiculaire fermé.

Tous les diagrammes des travures étudiées dans TOpuscule de M. Cremona contiennent le polygone relatif aux barres diagonales sous forme de figure double.

On peut encore regarder comme des figures réciproques les dessins des travures et leurs diagrammes lorsque, dans ceux-ci, le polygone des segments diagonaux ne se présente pas sous la forme d'une figure double, mais qu'il a quelques-uns ou tous ses côtés répétés en positions distinctes, quoiqu'il soit nécessaire de répéter, dans quelques cas, un même segment plusieurs fois dans des positions distinctes.

ILdiJig. 23 est un exemple d'une travure ayant une barre surabondante (c'est la plus simple des travures complètes). Dans son diagramme, en prenant pour polygone du contour 5678 les segments relatifs aux deux barres diagonales sont répétés en positions distinctes.

Pour pouvoir considérer les deux figures comme réciproques, il suffit de supposer que le point de croisement des barres diagonales (point qui peut être aussi sur leur prolongement) est un nœud, ce qui n'altère nullement les actions qui s'exercent suivant les mêmes barres. Ce point est alors la projection d'un sommet de la surface polyédrique qui se projette suivant le dessin de la travure. A ce sommet viennent concourir quatre arêtes qui se trouvent deux à deux dans un plan contenant la direction principale et qui, pour cela, se projettent suivant deux diagonales. La surface polyédrique réciproque contient, parmi ses faces, un parallélogramme plan, relatif au sommet dont on vient de parler; c'est la face qui se projette sur le parallélogramme formé par la répétition des segments 9 et 10.

Yidifig. 25 représente un cas moins simple. Pour plus de clarté, on a placé des lettres majuscules dans les différentes parties limitées par le contour de la travure et les diagonales et l'on a répété les mêmes lettres près des sommets correspondants du diagramme.

Pour pouvoir considérer comme successifs les nœuds auxquels sont appliquées les forces i , 2, 3, on doit considérer comme nœuds (idéals) les points de croisement (w, A), (m, k).

Le choix de l'ordre de succession des nœuds influe beaucoup sur la simplicité du diagramme. Celui de la^?^. 2D eût été plus simple si l'on eût adopté l'ordre 2, 8, 7, i, 4» 3, 5, 6.

Et à ce point de vue \^fig* 24 peut servir d'autre exemple. Si l'on avait adopté comme nœuds (idéals) du contour les points de croisement (6,c), (x,/), . . ., et pour contour celui que l'on aurait obtenu en parcourant la travure dans l'ordre i, 12, 2, 10, 4, 8; 6, 7, 5, 9, 3, II, on aurait obtenu dans le diagramme des segments répétés; cependant, dans le diagramme construit, aucun segment n'est répété. L'ordre à adopter est l'ordre unique dans lequel on peut parcourir la travure sans repasser par aucun nœud, et il a été mis en évidence dans la figure par le rabattement de la travure qui ramène celle-ci à une travure ordinaire du type triangulaire.