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tuée aux méthodes auxiliaires précédentes, a été indiquée par M. Cremona.

Voici l'énoncé du théorème sur lequel elle est fondée :

Si un polygone se déforme de façon que tous ses côtés passent par des points fixes y alignés sur une même ligne droite {dans les applications que nous ferons du théorème, cette droite sera celle à V infini), tandis que ses n — i premiers sommets se meuvent sur autant de droites fixes, le dernier sommet décrira une droite, et il en sera de même du point de concours de deux côtés quelconques du polygone {*).

Soit (fig* 27) une travure aux nœuds supérieurs de laquelle sont appliquées des forces bcd. . .5 et soient a et ^ les réactions des deux points d'appui. La méthode des nœuds permet de déterminer les actions le long des barres 1,2,3,47 5,6, mais elle n'est plus applicable au nœud (4*9) auquel viennent concourir trois barres, le long desquelles agissent des pressions ou des tensions inconnues.

Nous appliquerons à ce nœud la méthode basée sur l'emploi du théorème précédent et que Ton nomme méthode de fausse position.

Traçons un premier polygone d'essai relatif au nœud (4'9)> ^^ choisissant arbitrairement la longueur de l'un des côtés, de 7' par exemple ; menons les segments indéfinis parallèles aux barres 1 1 , 7, 9, i3. Construisons ensuite le polygone A^B^ClD| dont les côtés sont parallèles aux barres 8, 12, i4î ïo et dont les sommets doiventse trouver: A|^ (8'. 10') sur la droite 7'; B|^(8'. i2')sur9'; D|^ (14'. 10') sur 1 1'. Si l'on fait varier la longueur 7', le quatrième sommet C| ^ (12'. i4') de ce polygone décrit une certaine droite C| C2 ; mais il doit se trouver aussi sur la droite i3'; donc il sera à l'intersection de ces deux droites. Le lieu que décrit le point C| se construit en faisant un deuxième essai A2B2C2D2, auquel correspond une seconde longueur arbitraire du segment 7'.

Connaissant le point C, on complète le diagramme qui donne

( ' ) Voir Traité des propriétés projectives des figures, !'• édition, p. 332, § 538 ; Paris, Bachelier, 1822.

Ce théorème est un cas particulier d'un théorème plus général dû à Mac- Laurin.

la valeur des forces 7, 8, 12, i4> 10, 11,9, i3 qui étaient encore inconnues.

On peut encore- opérer d'une autre façon (* ) :

Au lieu de se donner la longueur du segment 7', on se donne arbitrairement celle du segment i3' en prenant le point C3 pour son extrémité.

On trace le polygone DaCjBj A| D| dont les côtés sont parallèles aux barres i4, 1^9 8, 10; les côtés C3D2 et A| D| se coupent en un point Do ; la droite DDo qui fournit la solution du problème peut être tracée sans faire un second essai.

En effet, cette droite est la ligne d'action de la résultante des forces, ayant pour lignes d'action les segments indéfinis 7', 9', i3', dont les segments se trouvent représentés dans les côtés de la travure 7, 9, i3. Le polygone que nous avons construit n'est autre que le polygone funiculaire correspondant aux rayons projetants 10, 8, 12, 14, issus d'un même point. Le segment de fermeture est la droite (6. 11) (i3.i4) à laquelle la droite DD© est parallèle. On n'a donc qu'à mener par le point D© une parallèle à la droite (6. 1 1) (i3. i4), et son intersection avec la droite 1 1' fournit la solution du problème.

Pour continuer la construction du diagramme, on trace tous les segments indéfinis dont on connaît une origine, savoir : 23', i5', 17', 19', 27', 29'. Il est inutile, en raison de la symétrie de la figure, d'aller au delà. On fait un premier essai en limitant en E| le segment 23', et l'on construit le polygone E| Fj G^ H| Kj L| M^Ni dont les côtés sont parallèles aux barres 22, 16, 18, 20, 24, 26,28,80 et dont les sommets sont sur les droites 23', 1 5', 1 7', 1 9', 2 1', 25', 27'. Le sommet N| sera sur une droite Ni N2 dont on détermine un second point N2 en faisant un second essai : E2F2G2H2K2L2M2N2. La droite N|N2 rencontre la droite 29' en un point N dont la connaissance permet de tracer le polygone NEFGHKLM , qui résout le problème.

XVII. — Extension de la méthode de fausse position au calcul des travures

indivisibles.

Cette méthode acquiert une importance toute spéciale pour le calcul des travures qui, tout en satisfaisant à la condition d'être

(" ) Voir, page 22, § XXI de l'Opuscule de M. Cremona.

strictement indéformfibles, ne peuvent être calculées par les autres méthodes auxiliaires, parce que toutes les sections idéales coupent ou trois barres concourantes de la travure, ou quatre barres au moins ne concourant que deux à deux.,

Soit {fig» a8) Tune de ces travures, et 1,2, {d,f), 3, 4> (ff»f^)i Sy6, (n,q) Tordre dans lequel doivent se succéder ses nœuds. Construisons le polygone des forces externes en équilibre, en suivant le même ordre, et par ses différents sommets menons des segments indéfinis correspondant au contour de la travure acd/hkmpq; donnons-nous arbitrairement la longueur de Tun de ces segments, celle de rf' par exemple, et construisons le polygone des segments relatifs aux barres diagonales t,e,^, l^n^r en profitant du théorème précité. On remarque que tous ses côtés sont répétés dans des positions distinctes et que, quoique les sommets E, K, D soient libres, c'est-à-dire ne doivent pas tomber sur un segment relatif à une barre du contour, cependant, comme ce sont des sommets de parallélogrammes, les droites sur lesquelles ils doivent se maintenir sont déterminées. De telles droites peuvent se déterminer au moyen de deux essais.

Pour faire Tessai, on peut, par exemple, procéder de la façon suivante : tracer ABCD et déterminer ensuite EFGHKLMND; tte sommet N devrait tomber sur q'. Un deuxième essai donne une autre position du sommet N' et la droite NN' rencontre la droite g' en un point qui fournit la solution du problème.

Si la travure indivisible est compliquée, on fera un dessin du diagramme que l'on construira en supposant que l'on a à résoudre le problème inverse, et cela dans le but de pouvoir former le polygone d'essai relatif aux barres diagonales d'une façon plus expéditive, en suivant l'ordre de succession qu'ont les côtés dans ce diagramme.

Les méthodes des nœuds, des sections, des moments et du polygone funiculaire peuvent être employées indépendamment de la connaissance du diagramme, mais la méthode de fausse position exige la construction de celui-ci : aussi pourrait-on l'appeler Méthode du diagramme,