V. — Axe de moment nul

Les droites doubles ne peuvent être les lignes d'action de forces conjuguées fin ies .

On voit aisément que si les deux forces agissent le long d'une même droite (double), leurs grandeurs deviennent égales opposées et infinies.

Mais, si les lignes doubles ne peuvent pas être les lignes d'action

de forces conjuguées finies, elles ont, par contre, une autre interprétation mécanique remarquable.

Si nous nous rappelons, en efiet, que l'on entend par moment d'une force par rapport à une droite y {axe des moments) le

produit

/sin(/,7)S./7,

expression dans laquelle /représente l'intensité de la force, 2. /y la plus courte distance de j^ à la force, et (Jjj) l'angle formé par la force et la droite^; et par moment d'un système de forces par rapport à un axe y^ la somme des moments de chacune des forces par rapport à cet axe, il est clair que le moment du système donné, par rapport à une droite double, est nul; car, si Ton représente le système au moyen de deux forces conjuguées, dont l'une soit située dans un plan passant par rf, cette droite les rencontrera toutes les deux (n° IV, § 1), et sa distance à chacune des deux forces sera nulle.

Donc :

Les droites doubles sont des axes de moment nul (* ). La propriété inverse est évidente.

Donc :

Une droite quelconque de l^ espace est ou un axe de moment nul ou la ligne d'action de l'une des deux forces conjuguées,

VI. — Propriétés les plus simples des pôles, des plans polaires et des droites

réciproques.

§ 1. Les droites parallèles à l'axe central R sont réciproques

( * ) MôBics, dans son Mémoire Ueber eine besondere Art dualer Verhàltnisse zwischen Figuren im Raume {Journal de C relie, i833, 1. 10, p. 3 17-341), appelait Gegenpunct et Gegenebene ce que, dans ces quelques pages, nous appelons pôle et plan polaire; mais, ensuite, cette propriété, ajoutée à celle du n» VI, l'a conduit à adopter les noms de Nullpunct et Nullebene {Lehrbuch der Statik, 1837, t. I, p. 145 ) : le système réciproque, qui fait le sujet de cette Introduction, fut appelé depuis Nullsystem, (Stacdt, Geom, der Lage, 1847, P- 191-)

des droites du plan à l'infini w {en particulier, l'axe central est réciproque de la droite de l'infini des plans qui lui sont perpendiculaires); d'un autre côté, elles concourent en un même point de ce plan, qui est le point J à l'infini de R. Donc J est le pôle de w (n« II, § 1).

Un plan a, parallèle à l'axe central, contient le pôle de*w; donc [n° IV, § 2 (a)] son pôle est à l'infini dans une direction déterminée.

En d'autres termes *

Les droites réciproques des droites de a sont parallèles à une même direction contenue dans a.

Les plans ayant la même droite j à V infini {plans parallèles) ont leurs pôles sur une droite parallèle à l'axe central, qui n'est autre que la droite R' réciproque de j (n°* III et II, § 1).

§ 2. La droite qui joint les points à l'infini de deux droites réciproques a et a', étant une droite double (n® IV, § 1) et se trouvant dans le plan à l'infini, contient le pôle de ce plan, c'est-à-dire passe par le point J. Donc les points à l'infini de R, a, d sont en ligne droite, ou, en d'autres termes :

Les directions de deux droites réciproques sont contenues dans un même plan passant par Vaxe central.

Cette propriété, déjà énoncée au n° I, (è), peut être mise encore sous la forme suivante :

Les plans parallèles à Vaxe central, passant par deux droites réciproques, sont parallèles entre eux.

D'où l'on tire, comme conséquence, que :

Si, sur un plan quelconque ne contenant pas la direction de Vaxe ^central, on projette parallèlement à cet axe deux droites réciproques, on obtiendra comme projections deux droites parallèles.

§ 3. Une droite qui s'appuie sur deux droites réciproques rencontrera Taxe central si elle lui est perpendiculaire, et elle le coupera orthogonalement si elle le rencontre [n° IV, §2 (6)etn° VI, §1],

Donc :

(a) Deux droites réciproques et Vaxe central sont les directrices dUin paraboloïde hyperbolique, dont toutes les génératrices sont perpendiculaires à Vaxe central.

(6) Les trois points de rencontre de Vaxe central et de deux droites réciproques quelconques avec un plan o- seront en ligne droite ou formeront un triangle, suivant que le plan <t sera ou non perpendiculaire à Vaxe central.

§ 4. La plus courte distance de deux droites réciproques, étant perpendiculaire à toutes deux, est aussi perpendiculaire au plan passant par R et parallèle à leurs directions et, par conséquent, l'est aussi à R.

Donc (n« VI, § 3) :

La plus courte distance de deux droites réciproques coupe orthogonalement Vaxe central.

J. JUKG.