XXX. — Autre solution du problème des trois points

Lorsque la charge qui agit sur l'une des barres de la travure est très petite, par rapport à l'action longitudinale que cette barre

supporte, les actions qui s'exercent sur les nœuds qui la terminent ont une direction peu différente de celle de Taxe de la barre, et, dans ce cas, la détermination des pôles relatifs à ces nœuds présente une certaine incertitude. Les considérations qui suivent fournissent un moyen de déterminer le pôle du diagramme des forces, avec précision, dans le cas qui nous occupe et par une construction un peu plus simple que celle qui a été indiquée pour \9ifig» 4o«

Soit à déterminer le pôle P| {fi g' 49)» Supposons-le trouvé, et projetons les extrémités du segment représentant la charge totale i'4- 2'+ 3', appliquée à la barre a d'un point quelconque U de a , Cela revient à décomposer le segment a^ en deux autres Q'U etUP4, et le segment «2 en deux autres P| U et UT'; les lignes d'action des deux forces ?< U et UP| égales et opposées coïncident avec Taxe de la barre a; par conséquent, les deux autres forces Q'U et UT' se coupent sur la ligne d'action de la résultante des forces i , 2 et 3. Donc, si l'on joint un point quelconque de la ligne d'action de la résultante des charges élémentaires, appliquées à une barre a (ici c'est un point de la force 2) aux extrémités de cette barre, et si l'on mène dans le plan du polygone des forces, et, par les extrémités du segment représentant la résultante, des parallèles à cliacune de ces lignes, celles-ci se coupent en un point qui appartient à une droite a' parallèle à a et passant par le point P| ( * ). En faisant la même opération pour la force i3 appliquée à la barre è, on obtient un point L qui appartient à une droite V parallèle à 6 et passant par P|. L'intersection de ces lignes donne le point Pi cherché.

XXXI. — Détermination des barres comprimées et des barres tendues.

Remarquons que dans hi Ji g, 49 le nœud {a^.a^) se trouve audessus de a\ cela veut dire que la barre a est comprimée; le nœud (64. 62) étant, au contraire, au-dessous de la barre i, celle-ci est tendue. Cette règle, bien simple à retenir, permet de reconnaître, à la simple inspection de la travure transformée, quelles

(') Nous n'avons donné ici qu'une démonstration mécanique directe de cette propriété qui a déjà été indiquée au § XXIII.

sont celles des barres de la travure qui résistent à la tension et quelles sont celles qui résistent à la compression.

XXXII. — Travures dont les barres sont prolongées au delà de leurs nœuds

d'attache.

Dans les exemples qui précèdent, chaque barre est limitée à deux nœuds. Dans la pratique, cependant, on rencontre des travures dont quelques barres sont prolongées au delà des deux nœuds strictement nécessaires pour la déterminer. La méthode générale ne subit aucune modification dans le cas où l'on rencontre cette disposition, c'est ce que nous allons montrer par un exemple.

Soient i^fig' 5o) a et h deux barres assemblées comme celles àe?^Jig. 4o et 4i, mais prolongées au delà de leur nœud commun. Pour trouver les réactions des chevilles, on fait un essai qui permet de tracer le polygone ADBEC, le seul qui soit tracé sur la figure. On voit que les axes des barres a et 6 passent par les points d'appui de celles-ci sur les chevilles, et que ces points (mis en évidence au moyen de petits cercles) sont sur les axes a^, «a, 6|, b'2 passant par les centres des chevilles qui sont donnés.

Une barre a peut être remplacée par deux autres a^ et aj, comme le montre X^fig, 5i. La force i agit de la même façon sur les chevilles A et B, tant par l'intermédiaire de la barre a que par l'intermédiaire des deux barres a^ et a^. On remarque en outre que, dans le cas où la barre est prolongée au delà de ses deux nœuds, les deux barres qu'on peut lui substituer sont l'une comprimée et l'autre distendue.

Pour trouver les actions longitudinale et normale qui s'exercent sur la barre a, menons dans le plan du polygone des forces, et par le pôle P une parallèle a! à l'axe de la barre a, et projetons sur cette droite les forces a'^, d^ et i'. La projection de i' représente la compression que supporte la portion de la barre comprise entre le point d'application de la force i et le point d'appui B; au delà de B, la compression est égale à la projection de i', augmentée de la projection de d^ sur d . La cheville A exerce sur la barre une réaction longitudinale mesurée par la projection de d^ sur a', projection égale et opposée à la somme des deux précédentes. L'action normale de i est représentée par la projection de i' sur Les Fig. récipr. 6

/ig, et celle de l'assemblage A par n\ ; la somme de ces deux actions est égale et opposée à Faction normale n^ de rassemblage B.

XXXIII. — Observation sur le calcul des travures réticulaires chargées aux nœuds et chargées sur les barres et aux nœuds.

On conçoit ordinairement les travures à nœuds chargés comme formées de barres sur les axes desquelles se trouvent les centres d'appui, ces axes étant rectilignes, et l'on suppose ces barres soumises à de simples efforts longitudinaux de pression ou de tension.

C'est là un ensemble de conceptions rationnelles qui conduisent à la plus grande économie de matière; mais les dispositions pratiques ne répondent pas toujours à ces conditions théoriques; ainsi les centres d'appui ne sont pas toujours sur les axes, et ceux-ci ne sont pas toujours rectilignes.

Le calcul de ces travures n'est entaché pour cela d'aucune erreur, mais on ne peut plus dire que les barres soient sujettes à de simples efforts longitudinaux de tension ou de compression.

Nous avons déjà fait observer au § XXIV que le calcul des travures à nœuds et à barres chargés ne comporte aucune restriction analogue. Cependant, nous avons supposé que les forces étaient appliquées aux axes des barres et que celles-ci étaient prismatiques, et nous avons montré comment on déterminait les composantes longitudinales et normales à l'axe de chacune des barres, soit des réactions des appuis, soit des forces qui sollicitent les barres et qui ont leurs points d'application sur les axes.

Mais remarquons encore là que les dispositions pratiques que nous avons admises ne sont pas toujours réalisées; car les centres d'application des réactions et les centres d'application des forces agissant sur la travure peuvent ne pas tomber sur les axes des barres considérées, et ces axes eux-mêmes peuvent être courbes.

Dans ce cas, la solution indiquée est encore valable, mais il n'y a plus lieu de considérer les actions longitudinales et normales qui n'auraient aucune signification.

Ce qui reste d'absolument vrai du calcul des travures à nœuds

chargés et de celui des travures chargées aux nœuds et sur les barres peut s'énoncer ainsi :

En ne considérant les travures réticulaires que comme des systèmes de corps appuyés les uns sur les autres, le calcul de ces travures permet de déterminer pour tous ces corps les réactions des appuis, c^est-à-dire de compléter la connaissance des forces en équilibre qui sollicitent chacun d^eux.