I. — Pôle et plan polaire. Droites conjuguées

C'est une théorie bien connue que celle des figures réciproques dans l'espace, théorie qui découle de la considération d'un syslème de forces appliquées à un corps rigide et libre (*). Par un point quelconque M de l'espace, passent une infinité d'axes, par rapport à chacun desquels le moment du système est nul; le lieu géométrique de ces axes est un plan [jl, que Môbius appelle Nullebene, c'est-à-dire/?/a/i nul au point M.

Inversement, un plan quelconque [jl contient une infinité d'axes

(•) Théorie qui découle aussi, soit des propriétés géométriques du déplacement infinitésimal d'un corps, soit de l'étude des cubiques gauches ou de celle des complexes de droites du premier degré, etc. Voyez sur ce sujet :

GioRGiNi, Sopra alcune proprietà dei piani dei momenti principali e délie coppie di forze equivalenti. {Memorie délia Società italiana, t. XX; Modena, 1828).

MoBius, Ueber eine besondere Art dualer Verhàltnisse zwischen Figuren im Raume {Crelles Journal fur Mathematik, 10 Bd.; Berlin, i833). — Lehrbucli der Statik (Leipzig, 1837), 1 Th., p. i44-

CuASLES, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, etc. (Bruxelles, 1827), p. 227, 4i3, 674,679,684,686.— Pro/^rtefe* g'ebmetriques relatives au mouvement infiniment petit d'un corps solide dans l'espace ( Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XVI; Paris, i843).

Staudt, Géométrie der Lage (Nurnberg, i8'i7), p. 191.

De Jonol'ières, Mélanges de Géométrie pure (Paris, i856), p. i-3i.

Reye, Géométrie der Lage (Hannover, 1866-1877), 2« Partie, p. 80 de la traduction française (Paris, 1882.)

Les Fig. récipr. 1

de moment nul, qui concourent tous en un même point M, appelé par Môbius le Nullpunct (ou point nul) du plan [x. Au lieu de Nullpunct et de Nullebene, j'emploierai, pour le point et le plan, les dénominations àe pôle et àe plan polaire.

Ainsi, à chaque point M de l'espace correspond un plan [jl passant par ce point, et inversement à chaque plan [jl correspond un point M, situé dans ce plan.

Si le pôle se meut dans un plan donné cl, le plan polaire [jl passe constamment par un point fixe A.y qui est le pôle de cl; et inversement, le lieu des pôles de tous les plans passant par un point A est un plan a, polaire de A.

Si le pôle se meut sur une ligne droite, le plan polaire correspondant tourne autour d^une autre droite.

Deux droites satisfaisant à ces conditions s'appellent droites conjuguées ou réciproques ; chacune d'elles est à la fois le lieu des pôles des plans passant par l'autre et l'enveloppe des plans polaires des points de l'autre.

Le système donné peut, d'une infinité de manières, être réduit à deux forces; mais, si l'on a choisi, arbitrairement du reste, la ligne d'action de l'une d'elles, celle de l'autre est parfaitement déterminée, et les deux lignes d'action sont des droites conjuguées.

A un faisceau de plans parallèles correspondent, comme pôles, les points d'une droite de direction déterminée ; cela revient à dire que :

Une droite située à V infini a pour conjuguée une droite passant par le pôle I du plan à V infini.

A tous les faisceaux de plans parallèles correspondent donc des droites passant par I, c'est-à-dire parallèles; parmi toutes ces droites, il en est une, appelée axe central du système, qui est perpendiculaire au faisceau de plans parallèles.

En d'autres termes :

La droite conjuguée dhine droite parallèle à Vaxe central est située à Vinfini; et chaque plan parallèle à Vaxe central a son pôle à Vinfini,

IL — Projections orthogonales de deux droites conjuguées sur un plan perpendiculaire à l'axe central.

Deux droites conjuguées quelconques jouissent de cette propiriété que :

a» Leur plus courte distance est une droite qui coupe orthogonalement Vaxe central.

D'où il résulte que :

Si Von projette deux droites réciproques parallèlement à l'axe central sur un plan perpendiculaire à cet axe, les deux projections obtenues sont des droites parallèles.

On voit facilement que :

6. A plusieurs droites r de Vespace, qui se projettent sur une même droite, correspondent des droites r', dont les projections coïncident ou sont parallèles, suivant que les droites r [nécessairement contenues dans un plan parallèle à Vaxe central) sont ou ne sont pas parallèles.

c. A plusieurs droites r de V espace, dont les projections sont parallèles, correspondent des droites H, dont les projections coïncident ou sont parallèles suivant que les droites r {nécessairement parallèles à un même plan passaîit par Vaxe central) sont parallèles ou non,

III. — Ëq[uations des pôles, des plans polaires et des droites réciproques.

Supposons Taxe central horizontal et appelons orthographique le plan de projection qui rencontre normalement l'axe central en son propre pôle. Prenons ce point pour origine d'un système d'axes de coordonnées rectangulaires dont l'axe des z coïncide avec l'axe central ; la loi de réciprocité dont nous avons parlé sera exprimée par les équations suivantes.

Le point ( j?i , y^ , z^) est le pôle du plan

^7i —y^v + ^(-s — -Si) = o, équation dans laquelle k est une constante.

Inversement, au plan

ax \-by ^ cz -^ d = o correspond le pôle

kh ka d

La droite

ax ^by \-c — o, px -^ qy \- rz — o,

est conjuguée à la droite

ax ^hy -\-c = o, px -\- qy -\- r' z ~ o,

avec la condition rd = /c = ki^aq — fegr).

IV. — Polyèdres réciproq[ue8. Leurs projections sur le plan orthographique sont des figiures réciproq[ues. Application de la formule d'Euler.

Nous appellerons réciproques deux polyèdres tels que les sommets de Tun soient les pôles des faces de Tautre; cela étant, les faces du premier seront des portions des plans polaires correspondant aux sommets du second, et les arêtes de l'un seront conjuguées des arêtes correspondantes de Tautre.

Comme tout pôle se trouve dans son propre plan polaire, lout polyèdre est inscrit dans son polyèdre réciproque et il lui est en même temps circonscrit. Soient, par exemple, A, B, C, D les sommets d'un tétraèdre; a, p, y> 5 les faces du tétraèdre réciproque; les plans a, p, y, 8 passent par leurs pôles respectifs A, B, C, D; et les sommets ^vS, vaS, a^S, ajâv se trouvent dans les plans polaires correspondants BGD, CAD, ABD, ABC(').

Projetons maintenant les deux polyèdres sur le plan orthographique; les projections obtenues sont deux figures douées de

(') MùBics, Kann von zwei dreiseitigen Prramiden eine jede in Bezug au/ die andere um- und eingeschrieben sein? {Creiie's Journal,, 3 Bd.; i8j8). — Lehrbuch der Statik, I. Th., p. i56-i58, — Veber eine besondere Art dualer Verhèiitnisse zivischen Figuren im Baume {Crel/e's Journal, 10 Bd., p. Sa^ ei suivaQles).

propriétés réciproques. A chaque côté de la première figure correspond un côté parallèle de la seconde, car deux côtés correspondants sont les projections de deux arêtes conjuguées des deux polyèdres. Si l'un des polyèdres a un angle solide, au sommet duquel viennent concourir m arêtes, l'autre possède une face polygonale de m côtés; si, par conséquent, l'une des figures orthographiques possède un nœud auquel viennent concourir m côtés, les m côtés correspondants de l'autre figure orthographique fdrment un polygone fermé.

Dans un polyèdre, chaque arête est commune à deux faces et passe par deux sommets; chaque face a au moins trois arêtes, et trois arêtes au moins viennent concourir en chacun des sommets ; donc, dans l'une et l'autre des figures orthographiques, chaque côté est commun à deux polygones et passe par deux nœuds ; trois côtés, au moins, viennent passer par un même nœud, et chaque polygone a au moins trois côtés.

Supposons que Tun des polyèdres, et par conséquent l'autre, soit de la classe des polyèdres eulériens ; alors la somme du nombre des sommets et des faces surpasse de deux unités le nombre des arêtes, d'après le théorème bien connu d'Euler. Donc, si la première figure orthographique possède/? nœuds, /?' polygones et s côtés, on aura la relation

La seconde figure aura/?' nœuds, p polygones et s côtés.