VII. — Théorôme de Macqaorn Rankine
Les premiers germes de cette théorie se trouvent dans les propriétés du polygone des forces, dont les côtés représentent en grandeur et en direction un système de forces en équilibre appliquées à un même point et dans les constructions géométriques qui permettent de trouver les tensions des côtés d'un polygone funiculaire plan (*). Mais c'est Macquorn Ra^rine qui en a fait
(*) Philosophical Magasine, avril 1864, p. 258.
(*) If forces represented in magnitude by the lioes of a figure be made to act, between the extremities of the coiresponding Unes of the reciprocal figure, then the points of the reciprocal figure ^ill ail be in equilibrium under the action ot thèse forces »•
(') Nous emploierons Texpression traçures re'ticulcùres qui traduit textuellement l'expression italienne, parce qu'elle peint très bien la forme des figures qui nous occupent.
(*) Varig:io:i, -VoMçW/e Mécanique ou Statique, dont le projet fut donne en 1687; Paris, 1725.
l'application aux iravures rétîculalres, en démontrant, à l'art. ISO de son excellent Livre intitulé : Manual of applied Mechanics (1857), le théorème suivant :
« Si d'un point on mène des lignes parallèles aux lignes de résis' tance des pièces d'une travure polygonale, les côtés d'un polygone quelconque inscrit entre ces lignes représentent un système de forces qui, appliquées aux sommets de la traçure, se font équilibre; chacune de ces forces étant appliquée au sommet déterminé par l'intersection des lignes correspondant à celles entre lesquelles elle est in^ se rite.
De plus, les longueurs des lignes rayonnantes représenteront les réactions qui se développent dans les pièces de la travure auxquelles ces lignes sont respectivement parallèles (*). »
RANRiifB publia plus tard un théorème analogue pour les systèmes polyédraux (2).
VIII. — Aperçu historique sur la théorie des diagrammes réciproques.
La théorie géométrique des diagrammes réciproques est due spécialement à Clekk Maxv^ell, qui d'abord en 1864 (') et ensuite en 1870 (^), en donna la définition générale et les considéra comme les projections de deux polyèdres réciproques.
Mais les polyèdres considérés par l'auteur sont réciproques par rapport à un paraboloïde de révolution (s), de telle sorte qu'en les projetant orthogonalement et parallèlement à l'axe, les côtés cor-
(') If lines radiating from a point be drawn parallel to the Unes of résistance of the bars of a polygonal frame, then the sides of any polygon whose angles lie in those radiating lines will représenta System of forces; wich, being applied to the joints of the frame, will balance each other; each such force being applied to the joint between the bars whose lines of résistance are parallel to the pair of radiating lines that enclose the side of polygon of forces, representing the force in question. Also, the lengths of the radiating lines will represent the stresses along the bars to whose lines of résistance they are respectively parallel (p. 140 de la 6* édition, 1872). Il est bien entendu que la travure dont parle Fauteur est un polygone simple.
(^) Philosophical Magazine, février, 1864, p. 92.
(^"*) On reciprocal figure and diagrams efforces {Transactions of the /?. Society of Edinburgh, t. XXVI). Voir encore une lettre de Rankine, dans le journal the Engineer, février 1872.
(' ) La réciprocité est entendue ici dans le sens considéré par Poncelct ou même par Monge. {Voir CuasleSj Aperçu historique, p. 878.)
respondants ne sont pas parallèles, mais perpendiculaires entre eux.
On devra donc faire tourner Tun des diagrammes de 90° dans son propre plan, afin de l'amener dans la position qu'il doit occuper dans les problèmes de Statique.
Dans la méthode que j'expose ici, les projections orthographiques des deux polyèdres réciproques donnent, au contraire, des diagrammes analogues à ceux que fournissent les considérations de la Statique graphique.
L'application pratique de la méthode des figures réciproques a fait le sujet d'un Mémoire que M. le professeur Fleemiwg Jenkin présenta en mars 1869 à la Société royale d'Edimbourg (*). Dans ce Mémoire, l'auteur, après avoir donné une définition des figures réciproques, conforme à celle donnée par Maxwell, dans son Mémoire de 1864, ajoute :
« Peu d'ingénieurs cependant se douteront que les deux paragraphes cités précédemment, mettent à leur disposition une méthode remarquablement simple et exacte, pour calculer les forces intérieures qui se développent dans un Framework. L'attention de l'auteur fut attirée spécialement sur cette méthode par ce fait qu'elle venait d'être découverte par M. Taylor, dessinateur très ingénieux employé dans les bureaux de l'entrepreneur bien connu J.-B. Gochrane (2). »
L'auteur présente un bon nombre d'exemples, accompagnés de figures, et il termine par cette observation :
« Quand on compare cette méthode aux méthodes algébriques, sa simplicité et sa rapidité deviennent frappantes. Appliquée aux travures dans lesquelles se trouvent de nombreuses pièces similaires, la méthode algébrique est une source d'erreurs fréquentes dues aux notations incommodes
(') On the practical application of reciprocal figures to the calculation of strains on framework {Transactions of the R. Society of Edinburgh, t. XXV). Voyez aussi, du même auteur : On braced arches and suspension bridges, read before the R. Scottish Society of Arts (Edinburgh, 1870); et le Mémoire On the application of graphie methods to the détermination of the efficiences of machinery {Transactions of the R. Society of Edinburgh, t. XXVIII, 1877).
C^) « Few engineers would, however, suspect that the two paragraphs quoted put at their disposai a remarkably simple and accurate method of calculating the stresses in framework; and the author's attention was drawn to the metod chiefly by the circumstance that it was independenlly discovered by a practical draughtsmann, M. Taylor, working in the Office of the wel! known contracter, M. J.-B.
