Passons maintenant aux substitutions à un seul pôle

Moyennant le changement de variables

la substitution devient

C'est une translation.

Considérons la substitution

où a varie par valeurs positives et croissantes de o à i . Le point mobile, pour passer de la position initiale à la position finale, parcourra un segment de grandeur et de direction constantes. Les trajectoires de la substitution sont donc formées d'un faisceau de droites parallèles. Mais on peut envisager deux droites parallèles comme deux cercles dont les points communs sont confondus et rejetés à l'infini. Donc, au faisceau des droites parallèles du plan Z correspondra dans le plan z un faisceau de cercles passant par le point r et tangents en ce point à un droite fixe.