La signification géométrique des substitutions linéaires

apparaîtra plus clairement, si l'on fait un changement de variables. Considérons d'abord la substitution, avec deux pôles,

et substituons à z la nouvelle variable Z liée à z par

La relation (i) devient

Considérons la torsion

où l'exposant X. peut varier d'une façon continue par valeurs positives et croissantes de la valeur o, correspondant à la substitution identique, à la valeur î , correspondant à la substitution (2).

Si la substitution est elliptique, (3) représente une rotation.

Posons

Z = p e'?, Z' = <p' ety, 0 = el* ;

il vient

p' = p, cp' = cp -t- Xa,

qui représente une torsion, de sorte que le point mobile, en passant de la position initiale à la position finale, décrit autour de l'origine un arc de cercle d'amplitude a.

Si la substitution est hyperbolique, (3) représente une extension. Posons

6 = c, d'où p'=c*p, <?'=?>

et le point mobile parcourt un segment de droite appartenant à un rayon issu de l'origine.

Enfin, si la substitution est loxodromique, posons 9 = ce'a; alors

p'=C*p, cp' = cp -H Xa.

Le rayon vecteur et l'argument varient, l'un suivant une progression géométrique, l'autre suivant une progression arithmétique, et, par suite, le point mobile décrit une spirale logarithmique dont le pôle est à l'origine.

Sl'BSTITtTIONS LINÉAIRES. 27

Nous désignerons en général sous le nom de trajectoire de la institution les lignes parcourues par le point mobile dans ces iflerents cas.

». Imaginons une sphère tangente au plan Z à l'origine, et pro- ;tons stéréographiquement le plan sur cette sphère, en choisissant >ur pôle de transformation le point de la sphère diamétralement »posé au point de contact. Si l'on prend comme axe le diamètre >assant par ces deux derniers points, les droites du plan issues de )rigine et les cercles du plan ayant l'origine pour centre se proîttent respectivement sur la sphère suivant des méridiens et des jrallèles.

Considérons maintenant des spirales logarithmiques, ayant leur )le à l'origine. On sait qu'elles coupent sous un angle constant îs droites issues du même point. Comme la transformation stéréographique conserve les angles, ces spirales se projettent sur la sphère suivant des courbes appelées Loxodromies et rencontrant les méridiens sous un angle constant; de là le nom de substitution loxodromique.

29. Revenons maintenant au plan z, en nous bornant aux substitutions elliptiques et hyperboliques; on passe du plan z au plan Z par la substitution linéaire

Aux cercles de l'un des plans correspondent des cercles de l'autre plan ; et aux points/? et q du plan z correspondent les points o et oo du plan Z. Donc, dans le plan Z le faisceau des rayons issus de l'origine, rayons qui peuvent être considérés comme des cercles passant par les points o et oo, aura pour transformé dans le plan z la famille des cercles passant par/? et q.

Quant aux substitutions elliptiques, pour obtenir leurs trajectoires, il suffit d'observer que, à cause de | 9 | = i , on a

relation qui exprime que le rapport des distances du point mobile

aux deux points p et q est constant. Les trajectoires sont donc des cercles, admettant/» et q pour points conjugués.

Il convient de s'arrêter un instant au cas des substitutions elliptiques, pour mieux déterminer le mouvement du point z'.

Si l'on pose 0 = eia- et si l'on désigne par arg. u l'argument de la quantité complexe u, on a

arg. — — - = a -h arg. -

ou bien

arg.(*'— p) — arg.(*'— q)= «■+■ arg.(z— p) — arg. (z — <y i.

Si maintenant P, Q, Z, Z' sont les points du plan représentatif des quantités /?, q, z, z',

arg.O -p) — arg.(z — q) = QZP, arg.(z' — p) — arg.(z' — q) = QZ'P,

en sorte que

QZ' P = a -+- QZP.

Donc, le point Z étant donné, pour en déduire le point Z', il suffit de construire sur la corde PQ un arc de cercle faisant en P et Q un angle a avec l'arc de cercle PZQ. Le point Z' sera à Fin-

Fig.

tersection de cet arc de cercle et du cercle passant par Z et admettant P et cp pour points conjugués.

SUBSTITUTIONS LINEAIRES. 29