So/£ P a/ie substitution à pôle unique r
et Q = l j une autre substitution quelconque, l'expression
de la substitution Q-1 PQ est
r' et ■// ayant pour valeurs
En effet, éliminants' et z" entre les équations
on
obtient
ôa*
! — — jr
fr + fl * ~~ y /• -f- c
SUBSTITUTIONS LINEAIRES.
ou encore (en tenant compte de aô — j3y = i )
et enfin
ar-4-{J\ Y/--+-S/
ar+^\
yr -+-.*/.
33. Recherchons maintenant si une substitution linéaire peut être une opération d'ordre fini.
Tout d'abord, la chose est impossible pour une substitution parabolique. En effet, une telle opération équivaut aune translation et, quel que soit le nombre de fois qu'on la répète, elle ne ramène jamais le point mobile à sa position primitive.
Considérons donc les substitutions à deux pôles.
En répétant m fois la substitution
on obtient la substitution
pour qu'elle se réduise à l'unité, on doit avoir QTO=i. Donc : Pour qu'une substitution ( i) à deux pôles soit d'ordre fini, il faut et il suffit que 9 soit une racine de l'unité, d'indice fini. Par suite, les seules substitutions linéaires d'ordre fini sont les substitutions elliptiques.
34. Si deux substitutions d'ordre fini ont les mêmes pôles, on peut en trouver une troisième, dont les deux premières soient des puissances.
Soient les deux substitutions
'i>. PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
d'ordres m et m', n le plus petit commun multiple de m et m', et r/ une racine primitive /iiùme de l'unité. On aura
h et h' étant des nombres entiers. Les deux substitutions données
seront alors
substitution
seront alors les puissances d'exposants — et — r d'une même r r m m
35. Soit G un groupe fini de substitutions ; supposons que r — i d'entre elles P,, P2, . . ., PPj , aient un pôle commun q. En adjoignant à ces dernières substitutions l'identité par rapporta laquelle tous les points peuvent être considérés comme pôles, on forme évidemment un sous-groupe du groupe donné. Car, si P/ et PA laissent le point q invariable, cela est encore vrai de P/PA.
Supposons pour simplifier que q soit le point à l'infini ; les P; prendront la forme (n° 23)
z' — pi= bi(z-pi) (i = i, i, ..., r — i). On trouve facilement pour la substitution P/ PA
s'= 0/6/, z -+- a, et pour PA P;
<7 et t ayant pour expressions
<* = — §h§iPi -+- §h(Pi —pu) -+-p/i, t = — 8A8//>A -+- 0/ (p'fl — pi ) -h p^
De là pour la substitution (P^P/)-1 ou P$l PA'
et ensuite pour la substitution P^-P^Pt"' P^'
(Qi-i)(*h-iHp/—pk).
Si dans le dernier terme aucun facteur n'était nul, la substi-
SI HSTITITIONS UNBAIBK8. 33
tution I ', P^ P~ ' PA ' serait parabolique; mais cela est impossible, puisque (n° 33) elle appartient à un groupe fini. Et comme 6;^ i, H/t^é i , on doit avoir />i = ph. Donc les substitutions P,, P2, ..., Pr, ont les deux pôles communs et sont par conséquent (n° 34) les puissances d'une même substitution. D'où il suit (n° 6) que le groupe i, P,, P2, ..., Pr i est un groupe cyclique; on arrive donc à la conclusion suivante :
Les substitutions linéaires d'un groupe fini, qui ont en commun un même pôle, ont aussi en commun l'autre pôle et forment un sous-groupe cyclique.
Il résulte aussi du théorème énoncé au n° 31 que :
Si p et q sont les pôles des substitutions d'un sous-groupe
c\ clique T appartenant à un groupe fini G, soit Q= ( ^)
une substitution de G; les substitutions du sous-groupe cyclique (n" 12) r'= Q "■ PO ont pour pôles
< )n dit que les pôles />, p' sont équivalents; et il en est de même de q, <i .
36. Soient G un groupe fini d'ordre n, T le sous-groupe cyclique formé (n" 3o) de toutes les substitutions de G ayant les mêmes pôles p et q. Soient i , P, P-, . . ., Pv~' les substitutions de T. Formons (n" 9) le Tableau (T) relatif a ce sous-groupe :
