PQ., P9-Q

P^'Qi,

Pv-1Q„

Q* , PQ„ , p2Q,

Puisque p n'est un pôle que pour les substitutions de la première ligne, les points

seront lous différents de p. Ils seront aussi distincts entre eux, V. 3

3/j PREMIÈRK PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

car, si l'on avait

Qt(p) = Q/Ap), il en résulterait

Or, les seules substitutions laissant p invariable étant P et ses puissances, on devrait avoir, pour une valeur convenable de /,

ou bien

ce qui est impossible, puisque tous les éléments du Tableau sont distincts.

Nous avons donc - pôles équivalents p, p{ , p2, • • -, )p»,i l01is distincts, et nous pouvons conclure que :

Le nombre des pôles distincts, équivalents à un pôle donné, y compris ce pôle, est égal à l'indice du sous-groupe formé par les substitutions admettant le pôle donné.

Il est facile de voir que : Toute substitution du groupe G a pour effet d échanger entre eux les pôles

p, Pu pt, ..., p1^.

En effet, soit PAQ* l'une d'elles; appliquons celte substitution à un quelconque pi des pôles considérés. Nous aurons

Mais Q/ Ph Qa, étant un produit de substitutions appartenant à G, est une certaine substitution PrQv de G. Donc

P* Q*(/>/) = Pr<Mp) =*/>#•

Il est important d'observer que les points p, pt, p2, ... sont les pôles des sous-groupes T, Q~* TQ, , Q~4 TQ2,

On a vu que les points p, ptJ p2, ... diffèrent tous entre eux ; il n'en faut pas déduire qu'il en soit de même pour les sous-groupes correspondants. A.u contraire, ces sous-groupes coïncident deux à deux, quand un des points /?,/?,, /?2, ... se confond avec le second pôle q de F. En effet, sipi=q, les substitutions des deux sous-

groupes r et Qj* TQ/ ayant un pôle commun ont aussi en commun l'autre pôle (n° 35) et par suite les deux sous-groupes sont identiques. Le même fait se produit pour les autres sous-groupes pris deux à deux, car, si l'on a

q =Pi=--Qi(p), q/i=Qh(p), il en résulte

?*=Q/Qa(/0 = P'Q*(/0 =*/»*.

37. Les considérations précédentes permettent de déterminer tous les groupes finis possibles de substitutions linéaires.

Soit G un groupe fini d'ordre n. Les pôles de ses substitutions (autres que l'identité), comptés chacun autant de fois qu'il y a de substitutions auxquelles il appartient, sont en nombre in — 2.

Supposons qu'un pôle soit commun à v, substitutions, l'identité

comprise; alors (n° 3o) il fait partie d'un système de — pôles équivalents. En raisonnant d'une façon analogue pour les autres pôles, on obtiendra des systèmes de — > — . ■ • ■> — pôles équivalents. Et

■* v2 v3 vr r *

comme un pôle du système i appartient à v, — i substitutions autres que l'identité, on aura

ou bien encore

Nous sommes donc amenés à chercher les systèmes de nombres entiers positifs v,, v2, . . ., v* et n satisfaisant à cette équation. On a évidemment

n ^ v,-^ i (» = i, 2, . . .. r), d'où

Par suite, en tenant compte de ( i ),

/■>i et i> £,

ou bien

Ainsi /• ne prendra que les valeurs 2 et 3. Soit /• = 2 ; la relation ( 1 ) devient

vj V| n ,

et, à cause de v,^«, v2^/*, elle admet comme unique solution

Soit maintenant /• = 3 ; l'équation ( 1 ) devient

vi v, v, n

Si tous les v, étaient supérieurs ou égaux à 3, le premier membre serait inférieur ou égal à 1, ce qui est impossible; donc l'un au moins des V| est égal à 2.

Soit, par exemple, v, = 2, d'où

On ne peut avoir en même temps v2^ 4? vj^ 4> car alors, le premier membre ne dépasserait pas • Donc l'un des v2, v3 doit avoir la valeur 2 ou la valeur 3.

Supposons d'abord v2 == 2 ; il en résulte v:, ^= -, ce qui ne peul avoir lieu que si n est un nombre pair.

Supposons, au contraire, que tni v4 ni v2 n'ait la( valeur 2; l'une d'elles aura la valeur 3. Soit v2= 3. Il en résulte

donc v:, << 6. Les hypothèses successives v3 = 3, 4, 6 conduisent à n= 12, 24, 60.

Nous réunissons dans le Tableau suivant toutes les solutions de

SUBSTITUTIONS MXKA1RES. 3;

l'équation (i), auxquelles correspondent autant de groupes possibles de solutions linéaires :