TC

Les substitutions du groupe diédrique sont donc données par les formules

tkKi

En particulier, les substitutions du groupe trirectangle (n° 53) sont

Si ï désigne la substitution z' = e '" z correspondant à la

rotation — autour de l'axe £ et U la substitution zf = -i corres-

pondant à la rotation iî autour de l'axe |, toutes les substitutions du groupe seront données par

63. Groupe tétraédrique. — Disposons le tétraèdre de façon que les trois médianes coïncident avec les trois axes de coordonnées. Pour cela, imaginons qu'on inscrive dans la sphère un cube dont les faces soient parallèles aux plans de coordonnées; soient A, B, C, D quatre sommets du cube qui ne soient pas contigus deux à deux; A', B', C, D' les sommets qui leur sont respectivement opposés. Les deux tétraèdres ABCD, A'B'G'D' sont réguliers, ont pour médianes communes les trois axes des coordonnées et sont conjugués l'un de l'autre.

Le groupe tétraédrique, nous l'avons vu (n" 54), comprend un sous-groupe trirectangle que nous représenterons par

(i) i, T, U, TU,

T et U étant deux rotations (') d'amplitude - autour des axes Ç

(') Pour plus de simplicité, nous employons toujours la même notation pour une rotation et la substitution correspondante.

CONSTRUCTION DES GROUPES FINIS DE SUBSTITUTIONS. j5

et ç, et TU étant par conséquent une rotation d'amplitude u autour de Taxe t\. L'effet de ces rotations sur l'échange des sommets peut être indiqué de la façon suivante :

TU

Ib A 1) C

Soit S une rotation d'amplitude -r- ayant pour pôles A et A',

son carré

est une rotation d'amplitude -^-> avec les mêmes pôles.

Étant donnée une rotation — ^ ou ~ autour d'un autre sommet,

nous allons montrer qu'elle s'obtient en multipliant S ou S2 par une des trois rotations (2).

Soit en effet X cette rotation,

Ei E3

E,, E2, E3 désignant les sommets B, G, D pris dans un ordre quelconque. Posons

\E, E, A Et) On a