S« S*T S*U S* TU

Reste à trouver l'expression analytique des substitutions correspondantes.

Les substitutions (1) ont déjà été construites [n" 62, formules (2), page 74]- Déterminons la substitution S.

Les coordonnées du point A sont égales toutes trois à -y-; les formules bien connues

tangX = , i a n 1,' [Jt. = 2,

nous donnent par conséquent

tangX = — , tang{* = i; /a

sin / —

— > COSA=-— ;, sin [X = cosu = — -

et, comme [i

inp=^5, cos|i = i

D'autre part (n° 61) [formules (())],

en sorte que l'expression de S est

>u, remarquant <jue

En tenant compte de ce résultat, des formules (2) (n° 62) et des formules de multiplication (n" 20), on obtient les expressions de toutes les substitutions du groupe

»-(; -.'), sto=( / ;.),

s.0- (; ;'), mo.(.; ;}

Ces substitutions peuvent encore être mises sous la forme suivante, plus concise :

, -, , 0 , K3-¥-lï , ^ .Z -4- s

où 0, e représentent les valeurs ± 1.

Il n'est pas inutile, pour la suite, d'avoir les expressions de ces substitutions pour d'autres dispositions de tétraèdre; par exemple lorsqu'on l'a fait tourner de 45° autour de l'axe Ç, à partir de la première position.

Soient x, y; x', y' les coordonnées des nouvelles positions d'un point et de son transformé. On a

et, si l'on pose

x + iy = z, x'+iy'=z', on obtient