S2TS3TS2T = U
()7. Les rotations 1 ,T, U,TL forment un groupe trirectangle, qui
est un sous-groupe du groupe tétraédrique; les axes des trois rotations T, l , Il sont trois médianes, orthogonales deux à deux('). Il est évident, par raison de symétrie, qu'il existe cinq systèmes orthogonaux de ce genre, qu'on déduit de l'un quelconque d'entre
eux en le faisant tourner autour de l'axe 'C de l'angle -s- et de
(') Il est facile du reste de trouver directement ces médianes sur la ligure 7. Kn adoptant pour c;es médianes la même notation que dans le texte, on voit que les médianes (1 .2 — 7.12), ( ï-5 — g. 10) sont situées dans le plan <•»; que leurs projections sont 3". ii", |".io"; que ces projections sont perpendiculaires comme diagonales d'un losange. De plus, la médiane (3. 11— 6.8) a même direction que l'axe r, et est, par conséquent, perpendiculaire aux deux autres.
ses multiples. Les quinze médianes de l'icosaèdre se partagent en cinq systèmes de trois droites orthogonales disposées symétriquement autour d'une diagonale quelconque.
Désignons par /f,, k2, k3, A-*, kô ces cinq systèmes de médianes. Toute rotation du groupe icosaédrique laisse chaque système invariable ou le change en un autre, en sorte qu'aux soixante rotations du groupe correspondent soixante permutations des cinq systèmes.
Montrons que ces permutations sont l'ensemble des permutations paires de cinq éléments.
Désignons en général par (ajâ — yô) la médiane passant par les milieux des arêtes ajïJ et yô. Nous aurons
kt=(%4— 9.12), £4= (i.5 — 10.12),
L'effet des rotations S, T, U sur les sommets et sur les médianes est résumé dans le Tableau suivant :
ia
kt
On voit donc bien que les permutations subies par les A, quand on applique les rotations S, T, U, sont paires. On peut en dire autant de la permutation correspondant à chaque rotation du groupe icosaédrique, puisque toutes ces rotations s'expriment par des produits de S, T, U ; et puisque à des rotations différentes correspondent des permutations différentes (') et que les rotations du groupe icosaédrique sont précisément en nombre égal à celui des permutations paires de cinq éléments, notre proposition est démontrée.
Voyons combien il y a de rotations du groupe icosaédrique, changeant en lui-même un système donné, k, par exemple. Les intersections de la sphère avec les trois médianes du système A-1 sont les sommets d'un octaèdre régulier hti et, si kt reste inaltéré par une rotation de la sphère, il en est de même de l'octaèdre : cette rotation appartient donc au groupe octaédrique correspondant. Et comme de telles rotations forment évidemment un groupe (qui est un sous-groupe du groupe icosaédrique), ce groupe coïncide soit avec le groupe de l'octaèdre ht, soit avec un de ses sous-groupes. Déterminons l'ordre de ce groupe.
Un des sommets de hK peut être amené à coïncider soit avec lui-même, soit avec un des cinq autres, et, dans ces conditions, l'arête (de l'icosaèdre sphérique), dont il est le milieu, peut coïncider avec l'arête ayant pour milieu l'autre sommet, et cela de deux façons différentes. Chaque coïncidence peut être réalisée avec une seule rotation du groupe icosaédrique (n° 51). Il suit de là que le sous-groupe considéré comprend douze rotations. Mais le seul sous-groupe d'ordre 12 d'un groupe octaédrique est un groupe tétraédrique (n°oi); donc, V ensemble des rotations du groupe icosaédrique, qui laissent invariable un système de trois médianes orthogonales, constitue un groupe tétraédrique.
Soient T,, T2, r3, I\, r5 les sous-groupes tétraédriques laissant respectivement invariables les systèmes k{, k2, £3, kn Ar5. Les pôles des rotations de T2, r3, 1%, T3 s'obtiennent en appliquant aux pôles de T, les rotations S, S2, S3, S'; d'où il
(l) S'il en était autrement, il existerait une rotation non nulle laissant inaltérés tous les systèmes de trois médianes, ce qui est impossible comme il est facile de s'en rendre compte.
suit (n° 3i)
r,= s-~>r,s, r8=s-*r,s*, i\=s-3r,s3, r5 = s-4rjS*.
08. Etablissons maintenant l'expression analytique des substitutions correspondant aux rotations S, T, U. L'expression de S est (n° 62)
U est la même rotation que celle qu'on avait désignée (nf,s 63 et 61) par TU ; elle a pour expression
Formons T, on a ici
d'où
a — — sin-> b — o c= — cos-> d = o,
c'est-à-dire (n°0o)
en sorte que la substitution cherchée est
, y//' -t- i z -t- >Jr — i
ou bien
>== (f + Qî + ii 2Jt — (r-f-i)
L'expression de cette substitution se simplifie si l'on y introduit le symbole
lit!
e = e ° = cos — — 1- 1 si 11 — . 5 >
Calculons sin-^ et cos -^- Dans le triangle spbérique rectangle considéré au commencement du n" 60 l'angle formé par les cotés-
( t iesl égala -^, d'où, par une formule connue de trigonométrie gphérique,
an l*ngâ
COI -s- s= T,
5 laagt c'est-à-dire | n" 60)
Iait i //•— 1 /• — 1 __i , S 9 y /• -t- 1 4 r -t- 1 ' où. en tenant compte de ce que (/+ i)a=6-j-ar,
.ait t / r — 1 1 . /3r-r-5
Il suit de là
s — -[/• — 1 -H i^'xri r -+- i)|,
, comme d'après une propriété connue des racines de l'unité el tA sont des quantités conjuguées, on a
s* = - [ r — 1 — t ^ar( r -t- i)L
De plus,
ei<6*-1(eH £*)=, i-(r — I) = — ' (r-+-i),
£2 — £3 = £2— 6»= (6-HS*)(S — £4)
as ( /• — 1)- i\/'i.r(r -+- 1)
-i(r— i)/îf(r+ 1)
(') Ces expressions conduisent aux formules
in 4 = 7 /ar(r — 1), cos - — — r
qui nous serviront dans la suite.
d'où
= j[— (*• + ?) — «Var(r— .i)Jt
Posons
x = e-1 — e°= - i y-ir(r — ij;
o- et t sont liés par les relations
<jt= — r, <s*-+-~J = —5, cr2 — x2 = Les substitutions T et S peuvent s'écrire
d'où, pour la substitution SA,
En partant de ces formules, on construit facilement le Tableau des substitutions du groupe icosaédrique :
