Z=OZ, Z = -> Z
n o, : peuvent prendre les valeurs zb i,±i';on peut encore écrire
i1' z -4- »* *' = i''Z, Z = — , Z'= i'' rr (A, k = O, I, a, 3).
65. Groupe icosaédrique. — Pour plus de clarté, figurons une projection de l'icosaèdre, les sommets étant numérotés de i à 12.
Appelons / le côté, h la hauteur d'une face de l'icosaèdre sphérique. L'une des hauteurs partage la face en deux triangles rectangles
égaux, ayant pour hypoténuse Z et pour cotés de l'angle droit h, :
en sorte qu'on a, d'après une formule connue de trigonométrie sphérique,
cosl = cos-cos/j.
D'autre part, le demi-grand cercle passant par les sommets 1, 2, Y 0
12 se compose d'un côté et de deux hauteurs, d'où
ou bien
La formule précédente devient alors
. Il i . ,
cos/ = cos-sin - = -suw •>. 2 2
ou
tan g/ = a;
d'où l'on déduit
sin/ = — -, cos/= — -•
11 convient, pour la suite, de connaître les lignes trigonométriques de l'arc r- Posons y/5 = r; on aura
l =i/r-i cozl = A -4-1
Pour l'instant montrons que l'expression trouvée pour lang/ permet de donner facilement une représentation de l'icosaèdre par la méthode de Mokge.
Disposons l'icosaèdre de façon que la diagonale (i — ■ 12) coïncide avec l'axe Ç et le plan (i .2. 12) avec le plan £Ç. Sur la figure, les lettres et les chiffres sont affectés d'un ou de deux accents suivant qu'il s'agit de projections horizontales ou de projections verticales. Prenons sur la tangente en 1" au contour apparent de la sphère une longueur i"A égale au diamètre; la droite 0"A, joignant A à la projection O" du centre, rencontrera le contour apparent au point 2". Soit 2' l'autre projection du sommet 2 ; on inscrira dans le cercle de centre O' passant par 2' un pentagone régulier, ayant pour sommets 2', 3', 4', 5', 6'.
Les points confondus 3" et 6" de même que 4"? 5" sont situés sur la parallèle à la ligne de terre menée par 1". Les points 7', 8', 9', io', il' sont diamétralement opposés sur le cercle O' respectivement à 2', 3', 4'? 5', 6'. Les projections verticales correspondantes se trouvent sur une parallèle à la ligne de terre symétrique de la
précédente par rapport àO". Comme vérification, on peut observer que, le pointa étant dans le plan ££, les sommets adjacents i,3, 10 9, 6 se trouvent dans un plan perpendiculaire au précédent et qu
par conséquent leurs projections verticales sont en ligne droite; on peut en dire autant des points 4» 5, 8, 12, 11.
66. Il convient ici de faire une remarque, qui nous sera utile dans un instant.
Etant données deux rotations P,, P2 d'amplitudes a,, a2 autour des axes /, , /2, on a identiquement
Or (n° 31) P~4 P, P2 est une rotation d'angle a, autour de l'axe l\ , transformé de /, par la rotation P2. Donc, pour obtenir la rotalion P, P2 on peut, soit effectuer successivement les rotations P, et P2, soit effectuer d'abord P2, puis une rotation P', de même
84 PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
angle a( que P, autour de l'axe /', transformé de /, parla rolation Pa.
Cela posé, nous allons établir que toutes les rotations du groupe icosaédrique peuvent être composées à l'aide des trois rotations suivantes :
i" Une rotation S d'amplitude -^ autour de la diagonale (i .12);
2" . Une rotation T d'amplitude 7t autour de la droite joignant les milieux des arêtes (1 . 2), (- . 1 2) ;
3" Une rotation U d'amplitude tt autour de la droite joignant les milieux des arêtes (6.8), (3. 1 1).
Soit à effectuer la rotation qui amène l'arête 1.2 en coïncidence avec une autre arête quelconque u.v. Nous distinguerons trois cas :
a. \x est le sommet 1; alors la rotation considérée est S ou une de ses puissances.
b. ijl est un des sommets 2, 3, 4, 5, 6. Pour amener le sommet 1 en pi, on effectuera d'abord la rotation T amenant 1 en 2, puis, si u. est différent de 2, la rotation S^~- qui amène 1 en jji (').
Si, après ces deux opérations, 2 ne coïncide pas avec v, on pourra obtenir ce résultat au moyen d'une rotation autour de |x, ayant pour amplitude un multiple de -r-« Posons
N = TSH--2;
M est (n° 31 ) la transformée par N d'une rotation d'angle égal, dont l'un des pôles est 1, c'est-à-dire d'une rotation S', À étant l'un des nombres o, 1, 2, 3, 4 (l'hypothèse a = o correspondrait au cas où v coïnciderait déjà avec 2). Donc, en tenant compte d'une remarque faite un peu plus haut, *•
NM = S*N = S*TSt»-*.
La rotation considérée est donc composée à l'aide des rotations S et T et dé la façon indiquée par cette dernière formule.
c. \k est un des six autres sommets. Si l'arête jjlv par l'effet de la rotation U se transforme en u.V, u.' sera un des sommets 1,2, 3, 4i
( ' ) Il ne faut pas oublier que les axes de rotation doivent être considérés comme fixes dans l'espace. Pour bien faire comprendre ce qui précède, imaginons un icosaèdre fixe et un autre mobile, coïncidant primitivement avec le premier. Lorsqu'on dit qu'une rotation amène l'arête a$ sur l'arête yo, il faut entendre par là que cette rotation appliquée à l'icosaèdre mobile amène l'arête oc£ de ce dernier à coïncider avec l'arête y8 de l'icosaèdre fixe.
5, 6 el l'on pourra faire coïncider 1.2 avec ;jl'v' à l'aide d'une transformation du type SA ou SATS*. Il en résulte qu'on fera coïncider 1.2 avec u.v à l'aide d'une transformation de l'un des deux types SAl , SATS*U.
En résumé : Toutes les rotations du groupe icosaédrique s 'expriment à V aide des trois rotations S, ï, U et appartiennent aux (fiiatre types suivants :
S\ S/'TS's S'»U, S*TS*U (//,/l==o, i,-2, :;, 4).
On vérifie de suite que les rotations correspondantes sont au nombre de 60; c'est précisément le nombre des rotations du groupe icosaédrique.
Ajoutons que U peut s'exprimer à l'aide de S et T.
EneH'et, d'après ce qui précède, S'^TS* amène le sommet 1 en 5. Pour voir ce que devient en même temps le sommet 2, observons que, T amenant 1.2 en 2.1, TS3 amène 1 . •>. en 5.1 et qu'une multiplication à gauche par S- équivaut à une rotation -^ autour
du sommet 5, rotation qui amène 5.1 en 5. 7. Donc S-TS3
amène 1 . 2 en 5. 7.
D'autre part, TS2T, étant la transformée de S2 parT, représente
une rotation —• autour de l axe 2. 7. et amené par suite 0.7 en 12.7.
Donc la rotation S2TS:iTS2T amène 1.2 en 12.7. C'est là précisément l'effet de la rotation U, d'où
