S>'TS*U
69. j\ous savons que les substitutions du groupe icosaédrique sont d'ordres 2, 3, 5. Voyons comment on peut reconnaître directement l'ordre d'une substitution de ce groupe.
Rappelons que, si une substitution est mise sous la forme unitaire (3) (n° 61 ), on a
d — cos 3,
(U désignant la demi-amplitude de la rotation correspondante; de
plus, d est la demi-somme des termes extrêmes de la substitution.
On a donc :
Pour SA,
-t) hn
e * J ss cos -—-;
/ k cos 3 = -\t*
pourSATS*,
(2) cos 3= — \e2 — e - != . sin — ; —
•xr v 11 i
pour SAU,
(3) cos3 = o;
pour S*TS*U,
ti a ' ( !<-***) lh-*>) ' • /<-*w
(4) cos 3= — U2 — £2 / = — . sin - *K,
r xr s ' vi 5
9?. PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
On voit, d'après (i), que les substitutions SA(A=i, 2, 3, 4) sont d'ordre 5, et d'après (3) que les substitutions
sont d'ordre 2.
Cherchons maintenant quelles sont les substitutions SATSA,
d'ordre 2
On doit avoir
par suite
. h^-k sin — ; — t: = 0
d'où
h -+- k = o (mod 5).
En second lieu, cherchons quelles sont les substitutions SATSA, d'ordre 3. On doit avoir, soit
soit
par suite
cos 3 = ± et
h -+■ k ri
5 a» /ar(r + i) 4
d'où (voir note, p. 89)
•ar(r-i),
s m — - — Ti =qp sin j
et, par suite,
A-j-/i=qzi (mod 5).
Les substitutions restantes SAT S*, pour lesquelles on a h -+• k sqp 2 ( mod 5 ),
sont nécessairement d'ordre 5.
Opérons de même pour les substitutions SATS*U; nous trouvons: l>our l'ordre 2,
sin — - — z = o, h — k = o (mod:'));
CONSTRUCTION DES CttOUPES FINIS DE SUBSTITUTIONS. 93
pour l'ordre 3,
. h — A ri r
-+- 1) = ± sin —
d'où
vmod j);
pour Tordre 5,
A-A=±i (mod 5).
En résumé, le groupe ieosaédrique comprend les substitutions
suivantes (cf. 11" 53) :
La substitution identique ; Les substitutions d'ordre 2
S*U (A = o, 1, 2, 3, 4), S*TS* (/*, k = o, 0; 1, 4; 2, 3; 3, 2; 4, 1), S*TS*U (/1, A =0, o; 1, 1; 9., 2; 3, 3; 4, 4):
Les substitutions d'ordre 3
ï^TS* (A, A =0, 1 ; 1,0; 2, 4; 3, 3; 4, 2; o, 4 ; 1, 3; 2, 2; 3, 1; 4,0),
S'«TS*U (h, A = o, 3; 1, 4; 2, o; 3, 1: 4, 2; o, 2; 1, 3; 2, 4; 3, o; 4, 1);
Les substitutions d'ordre 5
S* (A = 1,2, 3, 4), S*TS* (//, A = o, 2; 1, 1; 1, o; 3, 4; 4, 3; o, 3; 1, 2; 2, 1; 3, o; 4, i),
S*TS*l (A, A = o, 4; 1, o; 2, 1; 3, 2; 1, i; 0,1; 1, 2; 2, 3; 3, {; 4,0).
70. Tous les réseaux considérés, y compris le réseau létraédrique, relatif au polyèdre, pris dans sa seconde position, ont pour cercle de symétrie le grand cercle intersection de la sphère et du plan l|Ç. Il suit de là que les groupes correspondants peuvent être amplifiés par la réflexion
Il est inutile d'écrire les opérations de chacun des groupes amplifiés : ce sont, outre les opérations des groupes primitifs, celle qu'on en déduit en y remplaçant ; par ;;.
71. Les considérations développées au n" 38 permettent de construire immédiatement des groupes homogènes, correspondant
aux groupes non homogènes précédents. Bornons-nous à en donner la représentation analytique.
Groupes cycliques :
km
z'% =dr e * .
ou encore
kvt *\sae « zu
ktii s't = e n «i
(k-^-n\Ki
z\ = e n zu
ou plus simplement
z\ = e n «i, s'j = e " zt (h = o, i, 2, . . ., an — i).
Groupes diédriques. — En opérant comme plus haut, on trouve
h ici
= e "l zy,
h-Ki
h ni = ie "l zu
ktei
z'2 = ie m
Nous aurons, en particulier, pour le groupe trirectangle (m ss a),
Remplaçons, dans les secondes formules, h -4- i par h ; à cause de £*= i, quand A prend les valeurs o, i, a, 3, on peut donner à h -+- i au lieu des valeurs i , 2, 3, 4 les mêmes valeurs o, i , 2, 3. Alors, les substitutions du groupe trirectangle peuvent être mises sous la forme plus simple
*i=. »**,, s'2= — t-Aif, )
Groupe tétraédrique. — Posons
z\ = i''zu z'., = i->< z\ = illZi, z\ — — i
jt =»«(«*, -H •?*,),
z\ = c(z[izi — a:2),
«JsB&t^t + t*,),
«'tSa5a(4P1-t-»a1),
Groupe oclaédrique. — Pour obtenir les substitutions de ce groupe, il suffit de multiplier les précédentes par la substitution
Groupe icosaédrique. — En tenant compte des égalités
obtient les substitutions suivantes :
«'jsaie»**,, *', = ± e*A.si
«'jsrfc ««**,, z'2 = + £*'<-,
z\ =± -(•«*+*)ff*i-t- e!/,+!i';Zi)
S' as± !(***+■«* T^i—ï»^-1-*'»^) ) (/', k=*0, I, 2, 3, 4).
s' = ± i(e**+,*T.5| — e»(A+*)ffa,) *' = zp i ( £»(/*+-*> ffZl j e*A+J*x -2 )
Représentation des groupes finis sur le plan.
72. Occupons-nous maintenant de la représentation plane des groupes, représentation dont nous avons dit un mot au n° 58.
Nous prendrons pour centre de la projection stéréographique le point (o, o, — i), comme plan de projection le plan £t|, les axes x,y de ce plan coïncidant avec les axes £, i\.
Pour les groupes cycliques et diédriques, nous nous bornerons a indiquer les figures :
Fis. s.
Le réseau tétraédrique se compose des six grands cercles contenant les six arêtes du tétraèdre. Deux d'entre eux, contenant les arêtes AD, BC (voir fi g . 5, p. ^5), passent par le centre de projection et sont inclinés de 4 5° sur le pl&n ££ ; ils se projettent suivant deux droites passant par l'origine et inclinées de 45" sur l'axe des x. Cherchons à obtenir la projection d'un des quatre autres cercles, par exemple du cercle contenant l'arête AC. Pour cela, représentons au moyen de la méthode de Monge la sphère et le tétraèdre inscrit : soient P>et Q les intersections du plan £Ç avec le grand cercle passant par les points A et C, et situé dans un plan perpendiculaire. Soient L, L, ; M, Mt ; N, N, les intersections de la sphère avec les trois axes de coordonnées; menons HN" parallèle à la ligne de terre. Comme P"Q" fait un angle de 4^° avec les axes ç et w, on a
