CONSIDÉRATIONS GENERALES SUR LES RÉSEAUX DE TRIANGLES., I

85. Pour bien faire comprendre les développements précédents, donnons un exemple que nous utiliserons plus tard.

On a vu (n° 54) que le groupe trirectangle est un sous-groupe invariant du groupe octaédrique. Désignons ces deux groupes respectivement par H et G. Les substitutions du groupe H sont

i, V», U, UV*.

Partons d'un quelconque des bitriangles du réseau octaédrique, par exemple de UV. Ceux qui lui sont adjacents sont U, UV2, S2LV2; les deux premiers sont homologues dans H, donc il suffit de retenir UV2 et S2UV2. Les bitriangles qui leur sont contigus et qui sont en même temps distincts de UV sont

UV», S*UV», SUV, SUV*; UV3 est homologue de UV, donc nous retenons les trois autres.

Fig. 21.

Nous obtenons ainsi un champ fondamental de H composé des six bitriangles suivants :

UV, UV», S*UV*, S'UV», SUV, SUV*.

Si à la moitié ombrée de UV2 et à la moitié blanche de S2UV3 nous substituons la moitié ombrée de U et la moitié blanche de S2 UV qui leur sont respectivement homologues dans H, nous obtenons le champ fondamental représenté par la figure 21. Les portions homologues sur le contour sont deux à deux : ab, a'b'y bc, b'c', cd, c'd', de, d'e'.

Fig, 22.

Déformons le réseau comme cela est indiqué sur la figure 22, de façon à amener la coïncidence des côtés homologues.

Fig. 23.

Il peut se ramener à la forme de la figure 23, qui représente, comme il est facile de le voir, un réseau diédrique de douze triangles (m = 3) projeté stéréographiquement en prenant comme point de vue l'unjdes nœuds placé sur l'équateur.