Soit H' un sous-groupe de G équivalent à H, par exemple

H'=S--»HS.

Soient s, z' deux points homologues dans H; S z, S s' sont alors homologues dans H' (n° 2). Si donc on applique au champ la substitution S, le champ G' = SG ainsi obtenu est un champ fondamental pour le sous-groupe H'. Plus simplement, si l'on désigne maintenant par le symbole S le triangle qu'on avait désigné primitivement parle symbole 1, C devient un champ fondamental de H'. Et comme dans ces conditions le symbole 1 s'applique alors au triangle désigné primitivement par S"1 ou à son homologue dans G, on en conclut que : Le champ C peut être considéré comme le champ fondamental de divers sous-groupes équivalents en assignant le symbole 1 successivement à chacun de ses bitriangles.

On déduit de là la conséquence importante suivante : Soient H un sous-groupe invariant de G, S une substitution quelconque de G et C un champ fondamental de H; SC est encore un champ fondamental de H; en d'autres termes S transforme C en lui-même, aux modifications permises près (*).

Un artifice géométrique permet de présenter ces résultats sous une forme plus simple.

On a vu que le contour de C se compose de portions deux à deux homologues.

Transformons G par une déformation continue en une surface fermée, en amenant en coïncidence puis soudant ensemble les parties homologues de son contour. Il est clair que si, au lieu de partir de G, nous partions d'une figure déduite de G par des modifications permises, nous obtiendrons encore la même surface fermée. Ainsi, tandis que la disposition des triangles dans le champ fondamental comporte beaucoup d'arbitraire, cet arbitraire disparaît quand on passe à la surface fermée; en sorte que relativement à cette surface il n'y a pas lieu de parler de modifications permises. On peut donc dire que :

Si H est un sous-groupe invariant d'un groupe G, la sur-

(') Ces considérations s'appliquent à H, si on le considère comme sous-groupe du groupe amplifié G. Ainsi : Soient H un sous-groupe invariant de G et G, et H la réflexion utilisée pour l'amplification ; C est symétrique par rapport au cercle de symétrie de R, aux modifications permises près.

Il est clair que réciproquement, si H est un sous-groupe invariant de G et que C soit ou puisse être rendu, par des modifications permises, symétrique par rapport au cercle de symétrie de R, H est un sous-groupe invariant de G.

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES RÉSEAUX DE TRIANGLES. Il5

face fermée déduite du champ fondamental de H est transformée en elle-même par toute substitution de G.

Le nombre des différentes transformations de la surface en ellemême est évidemment égal au nombre s des bitriangles qu'elle renferme ou encore à l'indice du sous-groupe, car on peut transformer le bitriangle 1 en chacun des s bitriangles y compris le bitriangle 1 lui-même, et, d'autre part, une fois fixé le bitriangle transformé de 1, la transformation est définie sans ambiguïté.

Appelons nœuds de première, deuxième et troisième espèce les nœuds correspondant respectivement aux sommets des angles

d'amplitude —>—>—• Puisque les transformations de la surface en

r vt v2 v3 ^

elle-même échangent entre eux les nœuds de même espèce, on peut dire que :

Étant donné un sous-groupe invariant, la surface correspondante est telle que, autour de chacun des nœuds, se croisent des triangles dont le nombre ne varie pas pour des nœuds de même espèce.

On exprime ce fait en disant que la surface est régulière.

84. Revenons au Tableau du nu 82 et rappelons que les s bitriangles du champ C ont pour symboles s substitutions appartenant respectivement aux s lignes du Tableau.

Nous pouvons alors attribuer aux s bitriangles les symboles respectifs

(») 1, Qi, Qt, ■■■.. Q.< i.

aux substitutions près de H, en entendant par là que le véritable symbole du triangle désigné par Q; n'est pas nécessairement Qe, mais peut être le produit de Q< par une substitution de H. Si nous transformons ensuite le champ en une surface fermée et que nous superposions tous les champs homologues de C, qui composent le réseau et cela en faisant coïncider les bitriangles homologues ('), le bitriangle Q£- représentera, à lui seul, tous les

(») N'oublions pas que nous admettons qu'on peut déformer nos figures d'une façon quelconque, pourvu que la continuité soit respectée.

triangles dont les symboles figurent dans la ligne de rang i-+-i du Tableau (i). D'après cela, les symboles (2) peuvent représenter s transformations de la surface en elle-même, Q,- étant le symbole de la transformation produite par une quelconque des substitutions Q;P/,(/i = 0, 1,2, . . .), transformation qui est indépendante de l'indice h.

Ces s transformations forment un groupe quand H est un sous-groupe invariant.

En effet, puisque, dans ce cas, quels que soient les indices a, (3, il existe toujours un troisième indice (3' tel que

Q^PQa^Pp' ou

PpQa=Q«Pp',

on peut écrire

Q/PAQyPA^Q/Q/PA-P*;

mais Q/Qy est une certaine substitution de G, figurant par conséquent dans le Tableau (1) (n° 82); elle est par suite de la forme Q/POT, donc

Q/P*QyP*=Q/P«P*P*.

Et comme P^P^P/t est une certaine substitution Pr du sousgroupe H

Q,PAQyP*«Q,P,,

où l dépend seulement de i et de j, nous écrirons ce résultat sous la forme symbolique suivante

Q/Qy=Q/,

dont la signification apparaît immédiatement, si par Q; on entend, non pas la substitution qu'elle représente, mais la transformation correspondante de la surface fermée en elle-même.

Le groupe G' des transformations de la surface en elle-même est mériédriquement isomorphe au groupe G et le degré de mériédrie est égal à l'ordre du sous-groupe H, quand celui-ci est fini. A la substitution identique de G' correspond dans G le sousgroupe H ; à un sous-groupe G' correspond un sous-groupe de G renfermant H. Et comme l'étude de G' est toujours plus facile que celle de G, on voit qu'il y a un réel avantage à ramener la recherche des sous-groupes de G à celle des sous-groupes de G'.