S, S2, V, SV, S2V

forment un groupe diédrique, aux substitutions de H près.

On peut encore suivre une marche inverse. Puisque les six substitutions 1, S, S2, V, SV, S2V forment, aux substitutions de H près, un groupe diédrique, on peut partir du réseau représentatif de ce groupe {fig. 23), fendre suivant la ligne abcde la surface sur laquelle est tracé ce réseau; on déforme ensuite la surface, comme cela est indiqué sur la figure 22, et on lui donne enfin la forme indiquée par la figure 21, les parties homologues du contour étant les deux bords de la coupure pratiquée dans la surface fermée.

On voit sans difficulté que le réseau octaédrique se divise en quatre parties homologues relativement à H : celle qui est tracée dans la figure 21, sa symétrique par rapport à l'axe imaginaire et les deux demi-cercles en lesquels le cercle de rayon 1 est partagé par cet axe. Ces quatre parties, considérées comme bitriangles et partagées en triangles par l'axe réel, nous donnent le réseau du groupe trirectangle.

86. Déterminons maintenant le genre p de la surface fermée correspondant à un sous-groupe d'indice s.

PU KM 1ERE l'ARTIE.

GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

Le théorème d'EuLEn (n° 52) généralisé (■) donne, ou une surface fermée de genre /?,

Appelons 2m,, y/??2, . . ., 2/ns le nombre des arêtes aboutissant à chacun des sommets; on aura

(') Voici comment on peut démontrer cette formule :

Soit eh(h^i) le nombre des noeuds où aboutissent h arêtes; on

de plus, comme chaque arête a deux extrémités, on aura

Un point où se croisent h arêtes peut être considéré comme provenant de la coïncidence de h— 2 points de concours des arêtes deux à deux. Ainsi, dans la figure 25, p provient de la coïncidence des trois points /?,, p2, p3. Coupons, par exemple, l'arête ap en un point o; les deux portions de cette arête et toutes les autres arêtes pourront être considérées comme autant de coupures de première espèce. Considérons les extrémités de ces coupures; deux tombent en o et h — 2 en p, de sorte que le nombre total des extrémités est

2) eh