CONSIDERATIONS GENERALES SUR LES RESEAUX DE TRIANGLES
En outre, les faces sont ici en nombre is\ par suite
d'où
Si le
-groupe est invariant, la surface est régulière et mi a la même valeur pour tous les sous-groupes de même espèce.
Appelons /i,, «2, «3 les valeurs de /n/ pour les nœuds de première, deuxième et troisième espèces.
Comme un nœud de t'ème espèce, où concourent iiii arêtes, appartient à n,- triangles blancs, on voit que le nombre des nœuds
de cette espèce situés sur la surface fermée est — (')et la formule précédente devient alors
— Tli 1
et celui des coupures ou bien
Ces coupures décomposent la surface en F parties, d'où, d'après un théorème connu,
F = (A — S + i)- 2/j + i ou bien
F + S=A + 2 — ip.
(') En effet, comme un point de la surface admet en général 5 points homologues, y compris le point lui-même, un noeud de iimt espèce, appartenant à n
triangles blancs, n'admet que — points homologues.
122 PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
Ajoutons que nl} n2, n3 sont nécessairement des sous-multiples de s, et qu'ils sont aussi des sous-multiples respectivement de v,, v2> v3.
Le groupe modulaire et les sous-groupes correspondants.
87. Le groupe modulaire admet une définition arithmétique très simple. Cependant il est plus conforme au point de vue actuel de se donner le champ fondamental et d'en déduire les propriétés arithmétiques du groupe.
Considérons dans le demi-plan supérieur le triangle formé par
l'axe des quantités imaginaires, la parallèle à cet axe d'abscisse —
et le cercle de rayon un ayant pour centre l'origine. Ce triangle a
pour sommets les points
, , .+. i J% un i, p = =e'6
et le point à l'infini; ses angles sont -> ^ et o; par suite
Le réseau formé par ce triangle et ceux qui s'en déduisent par symétrie appartient donc au type (c) du n° 76. Cherchons son cercle de symétrie. Les seuls cercles orthogonaux aux deux côtés parallèles du triangle sont les droites parallèles à l'axe des quantités réelles; et parmi elles la seule qui soit orthogonale au côté curviligne du triangle passe par le centre du cercle auquel appartient ce côté et se confond par conséquent avec l'axe réel. Donc, le cercle de symétrie cherché est l'axe réel et par suite le réseau est situé tout entier dans le demi-plan supérieur. Les sommets des angles nuls, c'est-à-dire les homologues du point à l'infini, sont tous sur l'axe réel.
Nous prendrons pour champ fondamental de notre groupe le bitriangle formé du triangle construit précédemment et de son symétrique par rapport à l'axe imaginaire.
Les parties du contour que nous considérerons comme appartenant au bitriangle sont le côté rectiligne de gauche et la moitié, à droite, du côté circulaire.
Considérons les trois bitriangles contigus; on les obtient respectivement par deux translations de grandeurs +1 et — i et une
Fig. 26.
inversion par rapport au cercle de rayon un ayant pour centre l'origine. Les substitutions correspondantes ont pour expression analytique
Ces substitutions étant unitaires et à coefficients entiers, il en sera de même de toutes les substitutions du groupe qu'elles déterminent.
Réciproquement toute substitution unitaire et à coefficients entiers peut être mise sous la forme d'un produit de puissances des substitutions (i).
En effet, soit
une substitution dont les éléments a, j3, y, S sont des entiers liés par la relation
(a) «6— pY = i.
Comme y et o ne peuvent être nuls en même temps, trois cas sont possibles :
Y^±o, 8 = o; Y = °> M»! Y^°> Soit d'abord y ^ o, 8 = o. Alors, d'après (2),
fcr — -1.
124 PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
et par suite, en désignant par s la quantité ± i ,
en sorte que
c'est-à-dire
Posons maintenant
on a
c'est à-dire
z = z, — sa.
Soit en second lieu y = o, 8^0. Alors
aS = 1 , a = S = e,
P c'est-à-dire
d'où
P = Se?.
Soit enfin y ■=£ o, 8 ^ o. La relation (2) montre que y et ^ sont premiers entre eux. Développons en fraction continue la fraction
irréductible I :
Désignons les réduites par la notation
les quotients complets sont
Mo M, Aï M^ Â-i k,+t Mji 8
No '' N, ~ < ' N, ~ A-, ' ' N„ ~ y
LR GROUPE MODULAIRE ET LLS SOUS-GROUPES CORRESPONDANTS.
et avec les relations bien connues
M/N/,— M/,N/ = (—!)', M/+, = Mit** -+- M,,, N/+1 = Nikt+i -h NV-t. Posons
*, = — - =T(a,) =S*.Tra), z3= *,- *,= S-*.(*i) = S*.TS-*K'«).
** = — - =T(z3) = S*.TS-*.T(*),
on peut démontrer, par induction, que la formule
qui est vraie pour i = 1 , subsiste pour toute autre valeur de I. Supposons-la vraie pour une certaine valeur de i; on a alors
v ' NiZ -h M( et par suite
N/+iz-4-M/-
qui revient à la formule (3), où l'on aurait remplacé i par i-f- i On a donc
N„2-i-M„ 'fz + o
avec
M„ N„, — M„i N„ = S N„, — y M„i = (— i )" on bien
8 (— i)« Na-i — Y(— 1 )« M,,-, =a I ,
qui, en tenant compte de
aS-pY = i, devient
8[a-(-i)«N„„,] = TfP-(-.)"M/M].
Et comme y et 8 sont premiers entre eux, on pourra écrire, X désignant un certain nombre entier,
a ( i)»N„i = Xy, p — (— i)"M„, = X8, en sorte que (4) devient
(a — Xy )z -4- p — X8 a^-H
P peut donc s'écrire
et l'on a finalement
P = S*«TS-*«T...S*-|l'
TJ
