PP

P'-tP:

Supposons maintenant

a' = ±a, p'==±p. y's±Yi o' = ±8,

m le signe doit être le même dans ces quatre formules; on a

S'a — p'Y sszfc (aS — ^Y)=±i»

— Y' (i -4- a' S sa ± ( ao — pY ) = — • » S'a — y'£ =±(*ô -Py) = ±i»

— [i'y + ï'o = ±(aS — Py) =±i-

Réciproquement, si l'on suppose

;t si l'on tient compte de

PY

Multiplions la première de ces relations par o et la deuxième par — y et ajoutons-les, puis multiplions la première par (3 et la deuxième par — a; on obtient

Multiplions au contraire la troisième par ^ et la quatrième par — v et ajoutons; on obtient

l5.( PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYÉURIQUKS ET MODULAIRES.

On peut procéder de la même manière en partant des hypothèses

103. Il résulte de ce qui précède que, si l'on représente par

i, Pi, P2, .V.

les substitutions deY\fl), et si l'on forme pour le groupe Y le Tableau habituel

( i Pi P, -..,

(I) Qi QiPi QiP« • •-,

les substitutions de la première ligne et celles-là" seulement sont congrues à i. Deux substitutions d'une même ligne sont congrues entre elles, tandis que celles de deux lignes différentes ne sont pas congrues. En effet :

a. Par définition, ruj est l'ensemble des substitutions de T congrues à î ;

b. Si P/= i , on a

QaP<=Qa, d'où

QAP^QéPyî

c. Si l'on avait pour h y^ k

Q*P/sQ*Pyi

on aurait aussi

QA35Q*PyP7*x«Q4

et, par suite,

Q/j' Qu'- Alors Q/r'Q* appartiendrait à la première ligne et, par suite, QaQ/71Qa=Q* appartiendrait à la ligne qui contient Q^, tandis qu'elle appartient à une autre ligne.

De là résulte que le groupe Gjwj est celui qu'on déduirait de Y en considérant comme identiques les substitutions congrues suivant le module n.

Donc, pour former le groupe G;,,;, il suffit de prendre un système

de substitutions de T non congrues suivant le module n. La détermination d'un tel système nous fera connaître l'ordre de Gj„j, c'està-dire l'indice de r<n;.

104. Une propriété importante des groupes G;,,; est la suivante : soient S et T les substitutions de Gj„; correspondant par isomorpbie aux substitutions de T désignées par les mêmes lettres, en sorte que

<i) 8»=i, T* = i, (TS)» = t;

on peut démontrer que les relations (i) sont les seules qui puissent exister entre S et T.

Supposons en effet qu'entre S et T existe une relation que, pour fixer les idées, nous écrirons sous la forme

S«TSpTSYTS*=i.

Sur la surface fermée correspondant au sous-groupe T\n>, prenons un point intérieur au triangle 1 et traçons à partir de ce point une ligne traversant successivement les triangles

S, S», ..., SS, TSS, STS8, S^TSô, ..., SYTSS, ..., SaTSPTSYTS§

D'après (2), le dernier triangle se confond avec le triangle 1; nous pourrons donc revenir à notre point de départ après avoir décrit une ligne fermée. Cette ligne pourra être ramenée par une déformation continue à un ensemble de plusieurs lignes L entourant chacune un nœud du réseau. Imaginons que chacune de ces lignes soit composée de trois parties : d'abord une ligne / allant d'un point intérieur au triangle 1 à un point très voisin d'un (1rs nœuds, ensuite un petit cercle c entourant ce nœud et enfin la ligne / considérée en premier lieu, mais parcourue en sens inverse. Or un nœud, suivant qu'il est de première, deuxième ou troisième espèce, est le transformé du pôle de la substitution T, TS ou S. Donc, M désignant un produit formé à l'aide de S et T, le circuit autour d'un nœud sera représenté par l'une des trois substitutions