M »T*M, M-«(TS)3M, M-»S*M

La ligne / considérée correspond à un certain produit composé

l56 PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

avec S, T, et par suite l'une quelconque des lignes fermées L sera

représentée par le produit

(3) - NVl->UMN->,

U désignant T2, (TS)3 ou S".

Dans tous les cas le produit (3) se réduit à l'identité en vertu des relations (i), et, par conséquent, le premier membre de (2), qui est équivalent à un produit d'expressions analogues à la précédente, se réduit identiquement à 1.

Donc la relation (2) est une conséquence des relations (1).

On déduit de là le théorème suivant, dû à Walter Dyck :

Si S et T sont deux opérations susceptibles d'engendrer un groupe et satisfaisant aux relations

S» = i, T» = i, (TS)s=i,

ce groupe est holoêdriquement isomorphe au groupe G{«|.

105. Nous appellerons substitution réduite toute substitution, unitaire ou non, dont les éléments sont des nombres entiers non négatifs, inférieurs à 71; et substitutions complémentaires deux substitutions réduites dont deux éléments homologues quelconques ont pour somme oou«.

Une substitution réduite, dont le déterminant est congru à 1 suivant le module n, n'est égale à sa complémentaire que pour n = 2.

Soit ( ) une telle substitution; les nombres 2a, 2(3, 2y, 28,

dont deux au moins ne sont pas nuls, ont pour valeur o ou n. Donc n doit être pair. Posons n = im : les quatre nombres a, (3, y, S ne seront pas tous égaux à /w, car autrement on aurait a8 — (3y = o ; deux ou trois d'entre eux seront égaux à m et les autres (ou l'autre)

à o, et l'on aura

ao — {ly =± m2, d'où

±jn*==l (modïm),

ce qui n'est possible que si m = 1 , et par suite n = 2.

Deux substitutions réduites distinctes ne sont congruentes entre elles que si elles sont complémentaires.

En effet, soient les deux substitutions réduites distinctes

on ne peut avoir

a'=a, P's=P, Y— Y> 8'= 8; et pour qu'on ait

il faut et il suffit qu'elles soient complémentaires.

Etant donnée une substitution quelconque de T, on peut trouver une substitution réduite qui lui est congrue; telle est, par exemple, la substitution formée par les résidus minima non négatifs de ses éléments. Il suit de là, et en vertu de ce qui a été dit plus haut, que toute substitution modulaire est congrue à deux substitutions réduites complémentaires et à celles-là seulement ; et que toutes les substitutions d'une même ligne du Tableau (i) (n° 103) sont congrues à deux substitutions réduites complémentaires et à celles-là seulement.

Ainsi, par exemple, les éléments de la première ligne sont congrus aux deux substitutions

\o i/' V o n — ij Il est évident que, si une substitution réduite

-Y à une substitution de T, ses éléments satisfont à la congruence

(i) ao — Py = i (mod/i)-

Réciproquement, si une substitution réduite ( J satisfait

à la congruence (i), il existe des substitutions de T qui lui sont congrues.

Soit ), le plus grand diviseur de a qui soit premier avec n ; on pourra déterminer un nombre p tel que

( ■>.) np = i — $ (rnodX).

Posons

( 3 ) b = p H- np ;

1 58 PREMIÈRIi PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

on aura, d'après (2),

6 = 1 (modX).

Il en résulte que b et \ sont premiers entre eux, et que a et // ne peuvent avoir aucun diviseur commun qui soit premier avec n. D'autre part, d'après (1), a, fi, n et par suite aussi a, b} n sont premiers entre eux. Donc a et b ne peuvent avoir aucun diviseur commun qui soit en même temps un diviseur de n.

11 suit de là que l'équation indéterminée

(4) a/ ;— bh = g,

où h et k sont les deux inconnues, est résoluble quel que soit q. Or de ( 1 ) et (3) on déduit

ao — 6 y = 1 (mod n),

qu'on peut écrire

aS — 6 y r= 1 -+- nq

ou, en combinant cette relation avec (4),

a ( 8 — nk ) — b ( y — nh ) = 1 ,

en sorte que la substitution

a p -i- np

- nh S

np\ nk)

appartient à V. D'autre part, elle est congrue à la substitution réduite donnée. Notre proposition est donc établie.

Ce résultat montre qu'étant donnée une substitution réduite satisfaisant à ( 1 ), il existe une ligne de Tableau (1) (n" 103) formée par les substitutions qui lui sont congrues.

Nous pouvons donc prendre comme éléments du groupe G<„\ des substitutions réduites satisfaisant à (1) moyennant les conventions suivantes :

De deux substitutions complémentaires on en prendra une et une seule ;

Au lieu du produit de deux substitutions réduites, on devra considérer la substitution réduite congrue à ce produit.

106. Désignons par \t-(n) l'ordre de G[„\, c'est-à-dire l'indice

de r ;„; : on peut représenter ces derniers groupes respectivement par (jy.(„), ^y.(/i)' Le nombre \>-(n) est la moitié du nombre de substitutions réduites dont le déterminant est congru à i, sauf dans le cas de n = \>, où \*-(n) est précisément égal au nombre de ces substitutions.

Si l'on considère des substitutions homogènes, par rapport ;i tleux variables, au lieu de G^,,, on a un groupe G^^/n) d'ordre 2u,(/i) : dans ce cas, en effet, deux substitutions ne doivent être regardées comme congrues que si

et non pas si

Cherchons à déterminer 2u.(/i), c'est-à-dire le nombre des solutions non congrues de

a8 — [jy = i ( mod n ).

Faisons d'abord une remarque.

Soit n = nt n2, n, et n2 étant premiers entre eux. Chaque solution de (i) constitue une solution de chacune des deux congruences

ao — Py 5^ i (mod«t), zù — $-(== i (mod/ij).

Réciproquement, tout couple de solutions a,, (3,, y,, S,; *t, ^sj Y2 > 52 des congruences (2) donne lieu à une solution a, [3, Y, 0 de (1). En elïét, puisque /*, et n* sont premiers entre eux, chacune des congruences

/t1«~a1ssa2, m, 6 -i- (3, = j}2, «1 c •+- Yt == Y»i /ii</-h8i= 82 (iiio(1«2),

où les inconnues sont a, b, c, d, admet une solution et une seule. Une fois trouvées «, b, c, d, les nombres a = «!«-(- at,

Y =n{c -+- Yi, S = riid-h 8, satisfont à (1).

IÔO PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET .MODULAIRES.

Il suit de là que

(3) 2|a(«1rt2) = 'i\x(ni) 2;j.(/i2).

11 suffira donc de déterminer l'expression de u.(w) dans le cas où n est une puissance d'un nombre premier. Soit n =pr, p étant un nombre premier. Si a n'est pas divisible par/? et o^ j3</?r, la congruence

(4) ao — (J-f^si (mod/>')

donne pour chaque valeur arbitraire de y une valeur de o et une seule, non négative et inférieure à pr. Puisque le nombre des valeurs possibles incongrues de y est //', à deux valeurs données de a, (3 correspondent/?' couples de valeurs y, 3.

Si a est divisible par /?, fi ne l'est pas. et alors, pour chaque valeur de o prise arbitrairement, on a une seule valeur de y et, dans ce cas encore, pr couples de valeurs y, o.

Donc à chaque couple de valeurs a, £ moindres que pr et non divisibles toutes deux par p, correspondent pr couples de valeurs y, ô satisfaisant à la congruence (4)-

Calculons le nombre des couples de aJ3. Les valeurs de a moindres que pr et non divisibles par/?, en nombre pr — pr~{ , peuvent être associées à chaque valeur de [i moindre que pr, ce qui donne lieu à pr(pr — P'"1) couples; au contraire, les valeurs de a divisibles par/?, en nombre /?r', peuvent être associées aux valeurs de [3 non divisibles par /?, d'où prX (/?' — P'~{) couples.

Le nombre total des couples est donc

ce qui donne

solutions de (4) et, par suite,

(5) *p(pr)=Plr(i—~A-

Si donc

n=P'iiP'i'---P'h';

LE GROUPE MODULAIRE KT LES SOUS-GROUPES CORRESPONDANTS. l6l

la relation (3) mon Ire que

-<»>=»'Kî)(-À)-Ki)-

Pour le cas de p— 2, /• = 1 , il faut remplacer dans la formule (5) i^-{pr) Par p{px)' La relation (5) donne

;jl(2) = 6, [i(3) = i2, fx(4) = a4, fi(5) = 6o,

en sorte que les groupes T^n) etr(W) coïncident pour n = 2, 3, 4, 5- Mais cette coïncidence cesse dès que n > 5 ; en effet r^wj est un sous-groupe de F d'indice fini, tandis que (n°98) Yw est un sousgroupe d'indice infini.

107. Supposons que n puisse être décomposé en deux facteurs fti, /)■, premiers entre eux

n = «!/i2; alors

'i\j.(n) — -i[i(ni) 2fji(n2).

Si 1* et Q désignent deux substitutions homogènes quelconques, le groupe G-2v.(n) du paragraphe précédent contient une substitution S et une seule, telle que

S P (mod/ii), S = Q (mod/ij).

Remplaçons P successivement par toutes les substitutions du groupe G2u „j> et faisons Q = 1; nous obtiendrons pour S un système de 2u(/2, ) substitutions homogènes incongrues suivant nt et toutes congrues à 1 suivant n2-

Ce système est manifestement un groupe, il ne diffère pas essentiellement du groupe Go^*,) et par suite peut être représenté par le même symbole. Donc G2iX(„) contient G2!X(„j comme sousgroupe.

11 est facile de voir que c'est un sous-groupe invariant : en effet, soient S une quelconque de ses substitutions et Tune substitution quelconque du groupe Go^wj, on a

T «ST = T~«T = i (modn,).

on a

alors

d'où

De même G2(X(W) contient G2[i(ni) comme sous-groupe invariant. De plus, les substitutions des deux sous^groupes sont permutables. En effet, soient St et S2 deux substitutions quelconques de G2!J.(„i) et G2ji,(fl,), en sorte que

(mod/i2), S2=i (mod/i!);

(modn,) = j Si (modrti)

(mod/i2)' ( S2 (mod/i2)'

On peut donc appliquer au groupe G2[X(ra) les considérations du n° 14, permettant de construire les sous-groupes de G2^n) quand on connaît ceux de Ga{t(j,t) et G2!A(„o). On peut donc, dans la recherche directe des sous-groupes de G2(i(«), se borner au cas où n est une puissance d'un nombre premier.

Nous examinerons seulement le cas extrêmement simple où n est un nombre premier.

108. Mais, auparavant, il convient de donner quelques explications sur certains symboles introduits par Galois dans la théorie des nombres.

Si N n'est pas un résidu quadratique d'un nombre premier, la congruence

a?«a»N (modyo)

n'a pas de solutions.

Introduisons, comme dans la théorie des imaginaires, un symbole s défini par la congruence

e'sssN (mod/>).

Nous appellerons e un nombre imaginaire et nous désignerons sous le nom de nombres complexes les expressions de la forme a + be, a et b étant des entiers ordinaires.

Deux nombres complexes a + be et a! -+- b' e sont dits égaux si a = a', b = b'. En particulier, un nombre complexe a -f- be est nul si a = o, b = o.

LE GROUPE MODULAIRE ET LES SOUS-GROUPES CORRESPONDANTS.' l63

Les nombres «-f- 6e, a — bi sont dits conjugués; soita-f-&£ = a, nous écrirons a — bz = a.

Deux nombres conjugués ne peuvent être égaux que s'ils sont réels.

Si Ion a

aa = o, il en résulte

En effet, on peut écrire

o = aa = a* — 6* N ou bien

Mais si a- et b- ne sont pas nuls, a- est un résidu quadratique, tandis que b2 est un non-résidu, donc la congruence ne peut avoir lieu que si a = b = o, c'est-à-dire

Si a, b sont deux nombres complexes et si ab = o, on doit oir

Supposons

De l'hypothèse faite il résulte

osâ»b = (a'- 6«N)(a'-f-6'e) = (a«— ô«N)a'H-(a«— ft»N)6'c,

d'où

(a*— 6*N)a'=(a2— 62N)&' = o; mais

donc a' = b' = o et, par suite, b = o.

Dans le champ des nombres ordinaires et complexes toute congruence du second degré (suivant un module premier) a deux racines (et deux seulement), égales ou distinctes.

En effet, la congruence

(i) ax--+- ibx -+- c = o (mod/>)

peut s'écrire

(2) {ax -h 6)2 = b"1 — ac (mod/>).

Si b2 — ac est un résidu àep, il existe Comme on sait deux racines de (2) et par suite de (1); si b2 — ac est un non-résidu, on pourra poser, d étant un certain nombre,

b- — ac~c?2N (mod/>),

ax -+- b =± <fô !? (mod/>),

.r ss — beàzdez (modjo), e représentant le nombre qui satisfait à la congruence ae = i (modp).

On démontre, comme pour des nombres ordinaires, qu'une congruence de degré m suivant un module premier ne peut avoir plus de m racines.

Soient

a = a -t- bs., a = a — be

deux nombres complexes conjugués. On aura a.r> = ai>-±- | )aP~lbt -M |a/^-2è2e2 + . ..-+- £/>£/>

= aP-Jr bPeP= a -h 6eN 2 ,

puisque, d'après le théorème de Fermât, aP~' = 6/,t = 1.

De plus, N étant un non-résidu de/?, N "2 = — 1 , et alors

De même

a/'ssa, d'où ap2=a,

et, par conséquent,

(3) ap'-'^i.

Cette dernière formule est la généralisation du théorème de Fermât.

LE GROUPE MODULAIRE ET LES SOUS-GROUPES CORRESPONDANTS. l6'3

11 suit de là que la congruence (4) a**-*»l (moàp)

a précisément un nombre de racines égal à son degré; en effet elle est satisfaite par tous les nombres complexes a -f- bz non congrus à zéro suivant le module p, et leur nombre est précisément p'1 — i , a et b pouvant prendre n'importe quel couple de valeurs sauf le couple 0,0.

De ce théorème on déduit la conséquence suivante : Si q est un diviseur de p- — 1 , la congruence

xi=i (mod/>) a q racines.

La démonstration est la même que pour les nombres ordinaires.

Il peut arriver qu'une racine a de la congruence (4 ) soit aussi racine d'une autre congruence de la forme

a?r=i {moàp)

où /• <Cp~ — ï- On démontre facilement que si r est le plus petit nombre pour lequel a7" = 1, p2 — 1 est un multiple de r. On dit que le nombre a. appartient à l'exposant r; les nombres appartenant à l'exposant/?2 — 1 s'appellent racines primitives de p.

Si les nombres &t, a2 appartiennent respectivement aux exposants /*(, r2 premiers entre eux, le nombre (') a = ata .', appartient à l'exposant r = rt r2.

Soit, pour un certain nombre s, aç = 1 , d'où a, = a?j. Posons

aï m a; = b ; si tt est le plus grand commun diviseur de /•, et de s, t2 celui de

(l) La notation a~l indique, dans la théorie des nombres, le nombre b satisfaisant à la congruence

ab s= 1 (mod/>).

Ce nombre existe toujours et est déterminé d'une manière unique relativement au module p, quand p est premier et a n'est pas multiple de p, ou plus généralement quand a est premier avec p. De môme, on représenté par ca~l le nombre b qui satisfait à la congruence

ab : c ( mod p).

l66 PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

/•2 et de 5, on aura

a,'1 = a, ' = i, a/s =a2 '2s= i, d'où

Or, /•, et /*2 sont premiers entre eux; donc il en est de même de

et, par suite, d'après la relation précédente

ou bien

Il résulte de là que s doit être un multiple commun à /•, et à /-2- Donc la plus petite valeur de s pour laquelle a* = i est s = r, ;-2.

Tout nombre premier p admet des racines primitives et plus généralement il existe des nombres appartenant à tout exposant, qui est un diviseur de p2 — i .

Soit

où/),, p2 représentent des facteurs premiers différents. Si q est un diviseur de p2 — i , on aura

Puisque p*1 est un diviseur de p'2 — i, la congruence xK1^ i a p** racines; certaines d'entre elles sont d'exposant /?■*', sans quoi elles seraient toutes racines de la congruence

Il existe donc des nombres appartenant à l'exposant p\l et aussi des nombres appartenant à l'exposant /??,% etc. Au moyen de ces nombres, et en vertu du théorème précédent, on peut former des nombres appartenant à l'exposant q.

Soient en particulier

cl t un nombre appartenant à l'exposant q\ les racines de la, continence

| "> ) xf>+1 = 1

seront

De la relation générale a'' = a trouvée précédemment on déduit

D'autre part, on ne peut avoir \P = t, car il en résulterait

et t n'appartiendrait pas à l'exposant p -\- i . D'où il suit que t n'est pas réel.

Posons donc

t = c h- dz:

d n'est ni nul, ni multiple de p.

D'après cela, étant donné un nombre complexe quelconque

a = a -t- bz, on peut trouver un nombre ordinaire / tel qu'on ait

ld=b (modjo), d'où

a = a -h Idz = (a — le) ■+■ lt (modp),

en sorte que tout nombre complexe peut être mis sous la forme h + kt.

Si aa = 1 , a est une puissance de t.

En effet, comme a s a^, on a dans le cas actuel a^4"' = i , en sorte que a est une racine de la congruence (5) et par suite est une des quantités (6).

Les substitutions linéaires

l68 PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

où & et h sont deux nombres complexes liés par la relation

aa — bb = i (mod/>) forment un groupe.

En effet, si

* b'£ + a' est une autre substitution de même nature, c'est-à-dire telle que

a' a' — b'b'ss [ (mod/>), le produit des deux substitutions est

j, (a'a + b'bjS + la'b + b'a) (b'a -f-a'b)£ -+- (b'b -4- a/â]

et l'on a

= (aa — bb)(a'a' — b'b') = i.

La transformée cC une substitution quelconque ;' = P(£) de la forme (7), par une substitution

[qui n'appartient pas au groupe (7)] est une substitution £'= P(£)

c?w groupe Gjxfp; e£ /« somme des éléments extrêmes est la même

dans les deux substitutions.

Posons en effet

a=m + ns, b = /*-+- s e ; on trouve

^?*«>-ïÈ£î

avec

de plus

ao -

rfr-i

(mod/>), a-

11 suit de là que le groupe des substitutions (7) est holoédriquement isomorphe au groupe Gy,(py Donc dans les questions

purement formelles, c'est-à-dire où l'on fait abstraction de la nature des opérations qui composent les groupes, il est indifférent de considérer l'un ou l'autre de ces deux groupes. Nous représenterons le groupe (7) par G^(p).

109. Ces notions établies, arrivons à la recherche des sousgroupes du groupe G^^ et observons de suite que,/? étant premier,

on ;i

Commençons par les sous-groupes cycliques d'ordre/?. L'un d'eux, Gp, se construit immédiatement; il est formé de l'identité, de la substitution

et des puissances 2e, 3e, ...,(/? — lyème je S(z).

Pour trouver d'autres sous-groupes cycliques, considérons d'abord ceux qui sont équivalents à G,,.

Soit P = ( ^j une substitution quelconque de G^p).

On a [voir n° 91 )

• ay /• a

V — /-y2 1 -+- ray

Pour que P soit permutable avec G^, il faut que la substitution (1) soit une certaine puissance S* de S et, par suite, qu'on ait y = o. 11 est facile de voir que cette condition est suffisante.

Maintenant si y = o, on a

alors a peutprendre toutes les p — 1 valeurs incongrues suivant/), et à chacune d'elles correspond une valeur unique de S, et (3 peut prendre p \aleurs incongrues. Nous avons donc en tout p{p — 1) substitutions de G^p)1 permutables avec G/>. Mais elles sont

( ' ) La formule serait inexacte pour/) — 2 (voir n° 10G); nous supposerons qu< p est un nombre premier impair.

deux à deux égales, puisque

sont une seule et même substitution.

Donc, il y a — — substitutions de Gpp) distinctes, permutables avec Gp. Il résulte de là (n° 13) que le nombre des sousgroupes équivalents à G^,, y compris G^,, est f-l±- 1 : "^ ~ ''

ou/? + i. Les substitutions de ces groupes (en faisant abstraction de l'identité) sont toutes différentes. En effet, si deux d'entre eux avaient en commun plus d'une substitution, le nombre des substitutions communes, c'est-à-dire l'ordre du sous-groupe commun, devrait être un diviseur de l'ordre commun p des deux groupes, ordre que nous savons être premier. Donc le nombre total des substitutions contenues dans les /? -f- i sous-groupes équivalents est (/> + î) [p — i) on p2 — i, sans compter l'identité.

Si l'on représente en général par <r la demi-somme du premier et du dernier élément d'une substitution, il résulte de (i) que, pour les substitutions des sous-groupes considérées, cr = i. Naturellement, on peut aussi écrire <r = — i , puisqu'il est permis de changer le signe de tous les éléments d'une substitution. On peut donc dire que pour les substitutions du sous-groupe Gp et des sousgroupes équivalents, on a