ÉTUDE D'UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE FONCTIONS PÉRIODIQUES

Nous rencontrerons fréquemment dans la suite des fonctions qui, sans être irréductibles, sont périodiques séparément par rapport à un certain nombre de variables.

Soit, pour considérer le cas le plus simple, F(x,,#,,...,4,) une fonction que nous supposerons réductible à g variables par substitution linéaire, et périodique ent; 2, © séparément. Désignons par a,, @,,..., a, les

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périodes correspondantes. Nous supposons de plus que la fonction F n’est constante par rapport aucune des variables x,,x,,...,x, qu'elle contient toutes effectivement. Quel est l’ordre périodique de la fonction F? Nous allons montrer qu'il est égal à 7, c’est-à-dire que la fonction F est entièrement périodique. Soient, en effet,

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les 4 formes linéaires indépendantes qui transforment F en la fonction irréductible D(y,, y, ..., y). Il y a parmi les déterminants que l’on peut former avec les À un déterminant d'ordre g différent de zéro. De plus, les coefficients À}, À?,..., À? relatifs à une même colonne quelconque, celle de rang &, ne sont pas tous nuls sans quoi F ne contiendrait pas la variable x;.

Ceci posé, nous connaissons z périodes de la fonction F, les périodes Dao) 01 0 NO). Dior 00) MNON en des formes (1) elles se transforment en périodes dont les éléments sont respectivement

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On voit d’abord que les éléments de la période w;, par exemple, ne peuvent être tous nuls, puisque les coefficients À}, ..., À? ne sont pas tous nuls. Donc, les périodes w,,w,,...,w, sont nécessairement des périodes propres. Cherchons combien il y en a de distinctes (p. 25). Pour cela, dans le Tableau des éléments (2) il faudra trouver l’ordre du déterminant d'ordre le plus élevé qui ne soit pas nul. Les & étant différents de zéro cet ordre est exactement égal à 7, puisque les formes (1) sont indépendantes. La fonction P(y,, y:,..., y,) possédant g périodes distinctes est done entièrement périodique.

On peut effectuer sur les variables y,, y,, …, y, une nouvelle substitution linéaire, à déterminant non nul, de façon que 7 périodes propres distinctes arbitrairement choisies (ici p — q) deviennent des périodes dirigées suivant les nouveaux axes de coordonnées (on pourrait choisir, en particulier, un système minimum de périodes). En combinant les deux substitutions successives, on voit qu'il existe g formes linéaires, que nous supposerons être les formes (1), transformant F en une fonction irréduetible, que nous supposerons être la fonction ®, et périodique par rapport à toutes les variables, les périodes correspondantes b,, b,,..., b, pouvant d’ailleurs être arbitrairement choisies, et nous avons même indiqué (p. 36) des formes particulières de ces substitutions.

La substitution (1) prend ici une forme remarquable qu'il est aisé d'obtenir directement. Observons en effet que toute période de la fonc- Ton, 07 Jasescléments de AiormeK,0,, Ke 07 k,,..., k, sont des nombres rationnels (p. 28), des entiers si les périodes axiales constituent un système minimum.

où

Or, considérons la période transformée de la période 6,(0,0,...,0,&;,0,0), ses éléments deviennent dans ®

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d’où, cette conclusion que les nombres

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Nu t+pie +... Huit b, d; 2 An 2 2 1 > ln EE ae D CE pi (3) 2 d; An Re Cure: ; Hi Th Ja — fi EE RL UT) , a; An

les coefficients ul étant rationnels, entiers st le système des périodes axiales dans ® est un système minimum.

10 E, ESCLANGON.

Il y a évidemment une infinité de formes linéaires telles que (3) qui permettent de transformer F en une fonction irréductible périodique par rapport à chaque variable. A tout système de 4 périodes propres, choisies dans F, que l’on veut rendre axiales correspond une substitution de la forme (3), ou plus exactement un ensemble de substitutions de cette forme où seuls les nombres b,, b,,..., b, restent arbitraires.

Si l’on fait sur les variables y,, y,, ..., y, une nouvelle substitution, de façon que les nouveaux axes portent encore des vecteurs périodes, cette substitution s'écrit

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et l’on voit comment se rattachent entre elles les substitutions de la forme (3).

Supposons que l’on choisisse dans F deux systèmes minimum $S, S’ de périodes propres. Au système S correspond par une substitution de la forme (3) une fonction P(y,, ..., y,) dans laquelle les périodes du système S sont transformées en périodes (b,,0, ..., 0), ..…., (0,0, ..., 0, b,) dirigées suivant les axes et formant dans ® un système minimum. De même, au système S’ correspond, par une substitution de la forme (3), une fonction W(2,,7,,...,23,) dans laquelle les périodes du système S’ sont transformées en périodes (C,.0,.-,,0)2:.:1(0, 10.0 )idirisce Ænyant les axes et formant dans W° un système minimum. Entre les variables (Via Vas see) Va)r (Zi 225 ++., &4) existent des relations de la forme (4). Mais ici les coefficients y/ sont entiers, et l’on a de plus

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Enetier, les périodes 0.0) 006 20) 7" (OF 0 07e transforment par la substitution (4) en périodes de coordonnées respec-

Dre 1 2 L 1 Ne qe HvEs (PAG VC NICE (Vois... V2C); ces périodes forment en-

core un système minimum, ce qui exige : 1° que les coefficients v/ soient entiers; 2° que le déterminant A soit égal à + r comme cela résulte de ce qui a été établi page 30.

On remarquera que si l’on connaît une substitution de la forme (3) et, en parüculier, une substitution correspondant à un système minimum de g périodes propres, il est aisé d'obtenir toutes les périodes de la foncuon F(x,,æ,,...,æ,); @, @&,..., «, désignant les éléments d’une période quelconque, ces nombres vérifient les équations linéaires

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dans lesquelles &,, &, ..., «, sont les inconnues et »1,, m,, ..., m, des entiers quelconques pouvant être nuls. Cela résulte du fait que les périodes se transforment par les substiiutions linéaires et que, d’autre part (p. 29), les périodes de ® ont des éléments de la forme 72,b,,..., m,b,. Si les entiers 22,, M, -.., M, Sont tous nuls, on obtient ainsi l’ensemble des périodes impropres.

Fonctions de fonctions périodiques. — A la classe de fonctions que nous étudions actuellement appartiennent les fonctions de fonctions périodiques, c’est-à-dire les fonctions de la forme

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dans laquelle &,(x,), .…, u,(x,) sont des fonctions périodiques de périodes respeetivesid;; Gr, Up.

Nous supposons : 1° que la fonction F n’est constante par rapport à aucune des variables #,, u,,..., 4,3 2° que les fonctions périodiques &;(x;) ne sont pas constantes. Dans ces conditions la fonction Efu,(r ere da) n’est constante par rapport à aucune des variables Li, D 00 Ex

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1b: E. ESCLANGON.

Nous bornant au cas particulier où les fonctions F, (RU (CUe) sont des fonctions continues, nous démontrerons le théorème suivant :

La fonction F[u,(x,),...,u,(x,)lest irréductible.

La démonstration nous indiquera d’ailleurs à quelles conditions cette proposition s’étendrait au cas de fonctions discontinues.

Pour établir le théorème je remarque d’abord que, si (x) est une fonc- Uon périodique continue, l'équation

u(æ+a)—u(x)—=0o a des racines, quelle que soit la constante #. S'il en était autrement la fonction

continue w(x + a) —u(x) garderait un signe constant, elle serait positive,

par exemple, sans être jamais nulle; on aurait donc, quel que soit x, u(æ+a)—u(x)>0o el, par suite aussi, quel que soit l’entier positif », u(æ+na)—u(x)>0;