AN
2 = tr
D LI MN LE en VA Va UV da be om ne Qi NS D US le ;
D ee me dia Uri Va tie os
où les coefficients y, provisoirement arbitraires, vérifient seulement l’iné-
p L galité q+1 +1 D T A R NDE ( j\ = 10, [L I PR
le module de la nouvelle substitution étant ainsi différent de zéro. Par cette
36 E, ESCLANGON.
substitution qui est, en définitive, une substitution sur les +, la foncuon ®, ou si l’on veut la fonction F, se transforme en une nouvelle fonction irréductible Y'(z3,,3:,...,3,,:.., 3,) périodique séparément par rapport à 3; Z:5+.., 2), de sorte que par la substitution totale, à déterminant non nul,
ET ne CN A AR S NNL HN RARES RO Pen en HE ,
— JA AL Tr = K} Emo Oo knsn
les p périodes données de F se transforment en p périodes de W' dirigées suivant les axes 02,,...., 027,.
Or, déterminons les coefficients y de façon que l’on ait
si q#i q+i R1 S4+ÈRi Ov ai RUE Di tee vit br
,4+È J4+i R2 ,9+iR2 0 VS do Vario eee Vé B
ses vie otre she dolce se ia ele n vielle et) on ee
0— varie, + DER eo va+iBp cela est toujours possible tout en satisfaisant à la condition A 0, puisque ces équations sont résolues par rapport à vf, v?", ….,vf"avecz=1,2,...,n—q el que &,, &,..., 4, Sont différents de o. Dans ces conditions, les formules (5) font correspondre aux systèmes de valeurs (æ;, &,,..., ai), ...,
(aid... 0) attriDUéeS 4 y, de, .., d, Tespectivéentléss\slemetde
ai
re.
valeurs Es 00-070, de 00) CET AO LE UP O)
attribuées à z,,z,,..., 3,3 elles sont donc de la forme
a IS p Sp LD+1 > > Poe TA + k! Sp Tee 1 ns 2 D
le 2 ae » 2 p à l Pa di Ra +. Ra EKPMz tn. EA2z,,
(6) À dy * as hp Se le es ne da nee en ele ss ion se ss sis dose rs il DEP +1 De = as NE RUE MCE rs d; Xp
formules où entrent explicitement les éléments des périodes (ai, …., al), …, (47,.…., 47) qui par la substitution (6) se transforment en périodes axiales.
En définitive, nous avons établi que, étant donnée une fonction
F(x, Las 7 0)
réducuüble à g variables et périodique d'ordre p, il existe des substitutions linéaires de la forme (6) qui ramènent F à une fonction irréductible VS, 32,0, 2 .., 3,) périodique séparément par rapport aux variables 313 So.) 3,3 les nombres périodes correspondants &,, &4,,..., a, pouvant être choisis arbitrairement ainsi que le système des p périodes propres distinctes w,(x!,...,a!), ..., w,(@?,..., a?) de la fonction F qui doivent
leur correspondre linéairement.
Conclusion. — Je résume maintenant les traits essentiels des résultats obtenus. Une fonction périodique F(x,,x,,...,æ,) étant donnée (on suppose que F satisfait aux conditions de la page 16, ou plus généralement, que ses fonctions irréductibles n’ont pas de périodes infiniment petites), nous avons défini :
1° L'ordre de réductibilité, c’est-à-dire le nombre minimum g de variables indépendantes, fonctions linéaires de x,, æ,, ..., 4, au moyen desquelles on peut exprimer F;
2° L'ordre périodique p, c'est-à-dire le nombre maximum de périodes propres distinctes de la fonction donnée, le nombre p étant nécessairement inférieur, au plus égal à g. Les fonctions pour lesquelles p est égal à g admettent le maximum de périodes; ce sont les fonctions que l’on pourrait appeler entièrement périodiques, les autres étant par opposiuon des fonc-
tions partiellement périodiques.
