LS
si &« est commensurable avec la période a (a — 2), cela est manifestement
impossible puisqu'il suffirait de prendre 7 = q pour avoir u(æ+qa)—u(æ) =0;
si & est incommensurable avec &, étant donnés x el y quelconques, on peut choisir les entiers 72 el n, n élant positif, de façon que x + na soit aussi voisin qu'on le veut de y + ma; d'où résulterait (puisque w(x) est une
fonction continue) que, quels que soient x et y, on aurait u(y)—u(x)20,
ce qui est absurde. L’équation u(x + à) — u(x) = 0 a donc des racines quel que soit «.
Ceci posé, remarquons que, la fonction F étant continue, elle satisfait aux conditions de la page 16; par conséquent les fonctions irréductibles que l’on en déduit par substitution linéaire n'ont pas de périodes infiniment petites.
Je dis d’autre part qu'il est impossible de la supposer réductible, S'il en
élait ainsi, en effet, il existerait formes linéaires indépendantes
Yi=Àim + AT AZ» | Gi oo OO EE DO OOCo SO } JP; RE CR Sr RER + æn |
qui la transformeraient en une fonction irréductible POP Ve ea): Il existe un déterminant d'ordre q formé avec les À qui est différent de o. Supposons que ce soit le déterminant
LT
er Or
De plus, la condition que F n’est constante par rapport à aucune variable se traduit par ce fait que les coefficients d’une même colonne À}, À?,..., À! ne sont pas nuls à la fois (7 =1,2,..., 7). Or, considérons les deux systèmes de valeurs suivantes attribuées aux variables x
Lis Dos .) Lys Æqg+1s eo 77e ! !
Lis EE ONCE Las Lys ? DAME Ts
OÙ L43 Lay ee, &y SON arbitraires, les autres valeurs des variables satisfaisant aux équations
Ug( Lys) — Ug(Lg+1) = 0, +. Un(Ln) — Un(Ln) = 0,
et les différences
! == "€ ml a ele Lx TT Lgr1 — C4 ss LTn— LXn— Cn
étant, pour l'instant, arbitrairement données. D’après la remarque concernant l'existence des racines de u(x + a) — u(x)—=0, on peut toujours
fi !
ChOISIT Ge, Louis Dose À Nr Er
QD EN U L: / ‘ 4 r A a Ya TQ h F e* 19 à n Désignons par (y, Vas ce, Vydee.s (Var Vase 2) les systèmes de valeurs
des y correspondant aux deux systèmes de valeurs choisies pour les x.
de facon qu'il en soit bien ainsi.
Comme l’on a
F[u(x), CMOS) Uy(Ly) HA De }s COTE, Un (2) — F{u, (Cr); MSC) Ur),
44 E. ESCLANGON.
on à AUSSI DC Vis Vase. 1) = D(Yis Vas es Va).
Posons
Vida ot Va = Ya + Ba 5000 Va Ya Pôqe
Les nombres B,, B,, ..., B, sont respectivement égaux à
Les nombres £,,,,..., £, sont arbitraires, on pourra toujours les choisir de façon que B,, B,, ..., B, ne soient pas tous nuls. On pourra prendre, par BXCMPIE Er 0 60, Cri 0 0, AUQUElCAS ON UT Te plement
I Bi»
PEr — Ba, À — 6
el nous savons que À}, À%, ..., M ne sont pas tous nuls. On voit même que l'on peut choisir £, de façon que B,,8,, ..., 6,, sans être tous nuls, soient aussi petits que l’on veut.
Les nombres £ et 5 étant ainsi déterminés, on à
D( y: + Bi; ice = «se dat Oo Di Je... Jah
relation qui a lieu quels que soient x,, x,, ..., &,, les autres variables
Pr : ! û 7 .
Bquis + ee) Eny Louis - ++) LA ayant des valeurs déterminées qui ne dépendent pas dex,,%:,...,æ,. Puisquele déterminant
1 l A re "A
AREAS
est différent de o, les formules de substitution montrent que y,, y:,..., y, sont également arbitraires, puisqu'on peut les résoudre par rapport à x,, Lee, y Qui sont eux-mêmes quelconques.
On voit, en définitive, que la relation D( 71 + Bu .» Va F Ba) 00 Vas A) a)
a lieu quels que soient y,, y,, ..., y,, c'est-à-dire que B,, 8.,..., 8, definissent une période de cette fonction. Comme, d’autre part, B,, 8,, ...,B, peuvent être pris aussi petits que l’on veut, la fonction ® admettrait des périodes infiniment petites; c'est impossible puisque ® est irréductible. On ne peut donc pas supposer que la fonction F soit réductible.
La démonstration suppose simplement : 1° que les fonctions irréduetibles déduites de la fonction F[4,(x,),...,u,(x,)] n'admettent pas de périodes intiniient pentes; 2%que parmiles-fonchons 4,2, (2)... 2,(@.) ul y en à au moins une pour laquelle les équations (x + «) — u(x) = o ont des racines, et cela pour des valeurs de & aussi petites que l’on veut, sans même que cela doive avoir lieu pour toutes les valeurs de &. Toutes ces conditions. sont réalisées lorsque les fonctions F et & sont continues.
Fonctions entièrement périodiques à périodes indépendantes. — Soit F(x,,æ,,...,æ,) une fonction, réductible ou non, périodique séparément par rapport à chaque variable, et soient @,, &,,..., a, les périodes correspondantes. Je dirai que les périodes a,, «,, ..., a, sont indépendantes s’il
n'existe entre ces nombres aucune relation de la forme
#2 La G EME A Œi do ln
dans laquelle b,,..., a, sont des nombres rationnels positifs ou négatifs mais non nuls à la fois. Les fonctions périodiques pour lesquelles les périodes sont indépendantes joueront dans la suite de ce travail un rôle capital.
Supposons la fonction F réductible linéairement à g variables.
Nous avons vu page 39 que, étant donné un système de 4 périodes propres distinctes mais quelconques, on peut transformer F en une fonction irréductible ®(y,, y», ..., Y,) périodique séparément par rapport à chaque variable, les périodes correspondantes b,, b,,..., b, étant arbitraires et
A6 E. ESCLANGON.
cela au moyen de 4 formes linéaires
W# 2 t 1 1 2 n 71 — ARCS HS b, di LE An (S) RE ER ST D CIO OC , Ya q T1 FRE) 297 = — + UT — + + u9 —, ps Hi di P2 > Ha a,
dans lesquelles les coefficients 4 sont des nombres rationnels, des entiers si le système des 4 périodes choisies est un système minimum.
Puisque les nombres b,, b,, ..., b, sont arbitraires, on peut les choisir de façon à vérifier les relations
es las Fe SES ue Pn, b; a: ue An CRE OR one Ont ete ; q q q ï Fa PVR Pn et Li... ER:
)q di 3 An
cela est Loujours possible, car les périodes &,, ..., a, étant indépendantes, les seconds membres sont différents de zéro.
Si dans les formules (S) on fait alors
on aura aussi Vi Ya. = Yq—= ZX;
et, comme l’on a identiquement Fire = O0 Va); on aura, en particulier, PCR TN 7e De plus, les formes (S) étant indépendantes, il existe dans le Tableau
[its Hi +. pa (T)
au moins un déterminant d'ordre q différent de zéro. Par conséquent les périodes b,, b,,..., b, sont aussi indépendantes. S'il existait, en effet, une relation à coefficients rationnels de la forme
Y, V, ve
