MOI PU T
on en déduirait, au moyen des formules (&) et en tenant compte de l'hypothèse que a,, a,,..., a, sont indépendantes,
relations qui, considérées comme des équations en v,, v,, ...,v,, n'ont d’autre solution que la solution nulle, puisque dans le Tableau (T) il y a un déterminant d'ordre 4 différent de zéro.
Il est clair que si, inversement, l’on assujettit Les fonctions irréduetibles DO D) perodiquesen);,7.,... 4 ét déduiles linéarement de F, à satisfaire à l'identité
Hé Le rh D 4) 2),
les périodes correspondantes b,, b,, ..., b, sont nécessairement de la forme (5), de plus elles sont indépendantes, et nous avons un moyen d'obtenir toutes les fonctions de la forme ®. À chaque système P de g périodes propres distinctes, choisies arbitrairement, dans F correspondent une substitution (S) et une fonction D. Les coefficients 4 sont entiers si les q périodes choisies forment un système minimum.
SiW(3,,2:,...,7,) est une fonction analogue à D, et correspondant à un autre système P' de 4 périodes propres distinctes, il est évident que W se déduit de ® par une substitution, à module différent de zéro, de la forme
HER j + Die, RS TALE 1h Ci D q ne tree tome eue à , Ég yat mm Ya, FE b, da
A8 E. ESCLANGON.
et l’on a encore DS SL) — MU M) R (A; Ce 12)0
les périodes c,, €,,..., €, qui sont indépendantes, vérifient les relations
1 1 UM 7 Vq UC D Ci Î q RE NOÉ TTN TMECLE s I v{ y?
ee pan 0 et Cq 1 q
En particulier, si P, P’sont des systèmes minimum de périodes, on a nécessairement
q q VE LC CR
Faisons enfin une dernière remarque, qui n’est pas sans importance. Considérons la substitution (S) qui ramène F à D, le système P des périodes correspondantes étant minimum de sorte que les coefficients x! sontentiers. Comme nous l'avons vu page 4r, les éléments &,, &,,..., «, d'une période quelconque (") de la fonction F(x,,.….,#,) sont donnés par les formules
OÙ 7, M, ..., 1, SOnt des entiers positifs ou négatifs quelconques pouvant être nuls.
En particulier, s’il existe une période de la fonction F dont les éléments soient tous commensurables avec lun des nombres &,, &,, ..., a, le nombre a; par exemple, on peut affirmer : ou bien que tous ces éléments sont nuls à l'exception peut-être de celui de rang #, ou bien que la fonction F est constante par rapport à certaines des variables æ,, æ,,..., æy.
(1) Propre ou impropre.
LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. 49 Posons, en effet, CHERE TE CH
Er =
les À étant rationnels; les formules précédentes donnent
pt ue ++ pi 2e (TER): d’où, avec l'hypothèse faite sur les a, POUR RON I = 0, CU — 0, 0 (J —1,2,...,q); on en conclut, par exemple, REUE= 0, NEC Ar NT LT +0:
. 9 A S1 F n’est pas constante par rapport à æ, les nombres 4!,..., u? ne sont pas tous nuls et alors À, — 0; on àäurait de même À,=0, ..., À, —0, RO À 10.
On verrait de la même façon que si a est un nombre quelconque ne salisfaisant à aucune relation à coefficients rationnetls de la forme
(441 da n
la fonction F ne peut admettre aucune période dont les éléments soient tous commensurables avec a.
QUELQUES PROBLÈMES SUR LES FONCTIONS ENTIÈREMENT PÉRIODIQUES A PÉRIODES INDÉPENDANTES.
Je traiterai encore quelques problèmes qui nous seront utiles pour établir certaines propriétés des fonctions quasi-périodiques.
Soient F(x,,x,,...,+,) une fonction définie dans un certain domaine et k,, k,,..., k, des nombres donnés. Supposons que l'expression
ROC RL LR RER, mi eh) = F (21, EU 2) h
ait une limite pour k = o, et cela quels que soient x,, #,, ..., æ,.
5o E. ESCLANGON.
Appelons REC tee da
CASE EIRE)
cette limite. Si la fonction F admettait des dérivées partielles continues, on
aurait évidemment
De le) DS Ul 0F
+ hr =— 3 Sn n Fr
CERN) a Lo
mais F’ peut parfaitement exister sans que F admette des dérivées partielles continues. Si même, la fonction F, tout en admettant des dérivées nur Aa .0F partielles, celles-ci n'étaient pas continues, la quantité k, == +...+k,-— CEA Or
pourrait ne pas être égale à F”.
Il est clair que si tous les nombres Æ sont nuls à exception de ;, on a Here) —. oF
COR AONERO MER ON MCOr,
La façon même dont le symbole F’ est défini montre qu'il se transforme par substitution linéaire. En d’autres termes, si l’on effectue la substitution
Di ki it À Vote HA Yan CHE 0 ee Je)
sur les variables x,, ...,x,, on a
es ) LE Di (Yi Ya some) (A, Ko, DÉRRE) En) < (ls L, SRCOET le) i
l,, L, ..., 1, se déduisant de k;, k,, ..., k-#par la même subsutution linéaire.
Si l’on fait en particulier une substitution de la forme Bi Ni Yi HE Ynni + KiYn COOP),
où les coefficients À sont quelconques, à la seule condition que le déterminant de la substitution soit différent de o, on a
F'(xi,...,4n) 0% (Ai ka, REC) Kn) = dYn
Il suit de là que, si F(x,, ..., æ,) est une fonction pour laquelle on a identiquement NERO 5 0 TMS abs
et si l’on suppose par exemple k,=£ 0, la fonction F dépend des seules différences
(knti— Kitn), (Knti— RD) PERRET ait):
comme on le voit en effectuant la substitution
Li —}Y: AI Ya La —Y2 + KaYns
Ln—i = Vn—1 + he Vn
PT" Yne
Si la fonction F admet des périodes, toutes les périodes de K appar-
à ’ Q 4 Q F’ CMOOOT) d n tiennent évidemment à la fonction nd.
dirt AT
Considérons maintenant des fonctions F(x,, ...,x,) périodiques séparé- INENDER Ti, Bas. Uny leSpériodes COTreSpondAntEs 4, 43, ...) An ÉtANt indépendantes.
1° S1 la fonction
Le ren Vos NV 0e 2 SON IE, GAS, 0660 222) F(z;, Poser) = in ( Pre = ? 7 ) ( 122 ? n) h—0
est identiquement nulle, la fonction F est constante. On a, en effet, F(z:, Las Zn) = US Ts La Tps 5 An — Zn).
Posons
Uy=—= Li — Lns ..) = ln)
la fonction 0 pourrait ne pas contenir toutes les variables &; supposons qu’elle en contienne p exactement, w,, U:, ..., up par exemple. La fonction
D(u,, u,, ..., u,) admet, relativement aux variables &, les périodes qui ont
respectivement pour éléments (ao; +50) (0, 0 M0) M 0.100) er En)
or &, ne vérifie par hypothèse aucune relation à coefficients rationnels de la forme = Fe Rosa Pr; An &; do p Lt e : ;
ce qui, d’après la remarque de la page 49, exige que Ü ne contienne pas toutes lésyanables%; 1,4:
La fonction 0 est donc constante, ce qui établit la proposition.
2Soit (Ti, L2, --: 2) Une tloncHon periDdiQue ENT, C2 0 77 à périodes indépendantes; toutes les périodes de la fonction F'(x,, ..., x,) appartiennent à F.
Soient en effet &,,«,,...,æ, les éléments d’une période de la fonction F", et considérons la fonction
Pre Bas M) PES, a ar) Fe e r ) elléestipénodiqueen®,, 71-07; on#delplus WIR es Le )=20:
par conséquent, d’après la proposition précédente, W est constant, c’està-dire
F(xi+ y Lot Lo, +; Mat An) En F(z;, Lay ss n) =
Ceci posé, supposons que la fonction F soit continue au moins en un point, le point #,, #,, ..., 4, On aura, quels que soient les entiers », m,,
M Jr,
F(ti+ mat mit, Lit Mar+ Moy ses En + Man + Mnän) — EF (Li, Las ve, Ln)= MA.
Or, d’après un théorème déjà cité (p. 28), on peut déterminer les entiers M, Mise. Mn, AVEC M 7 0, de façon que les quantités
MO E Mas MO» + Ma les. Man + Min
soient en valeur absolue plus petites que toute quantité donnée. La fonc-
tion F étant continue au point #,,%,, ...,#,, et l’entier m» différent de o, on en conclut que À, qui est un nombre fixe, est inférieur à tout nombre donné, c’est-à-dire
A0; par suite, ECC, ER..:., ln Pan) —F(ti5 28 -.., 2) =0, La proposition est donc établie; les fonctions F(x,, ..., æ,) et
F'(x,,2%,,...,x,) admettent les mêmes périodes; toute période de l’une appartient à l'autre; toute période propre de l’une est période propre de l’autre; les ensembles des périodes impropres, les systèmes minimum sont identiques.
En particulier, st l’une de ces fonctions est irréductible, l’autre est également irréductible, car, la première n’admettant pas de périodes infiniment petites, il en est de même de la seconde, et c’est là un caractère certain d'irréductibilité (‘). D'une façon générale, les fonctions F, K ont le même ordre de réductibilité, c’est-à-dire qu’elles se ramènent par substitution linéaire à des fonctions irréductibles du même nombre de variables ; toute substitution linéaire qui réduit le nombre des variables dans l’une, réduit de la même façon le nombre des variables dans l’autre. Enfin, s’il existe des dérivées d'ordre plus élevé F”, F”, ..., toutes ces fonctions ont le
même ordre de réductibilité.
Envisageons les formes linéaires (S)
que nous avons étudiées pages 46-48 et qui ramènent la foncuon F à une fonction ®(y,, V2, -.., Y4) périodique en Yi, Vas +++ Va dont les périodes
(1) Page 24 en note.
5/ E. ESCLANGON.
indépendantes b,, b,, ..., b, sont déterminées par les formules
I 1 1 À nl P2 LP En, bi a; da An (sc) RE GR CLR oO ; L F1 .
RS 5 coorééoc Se bg di Zn
Par la substitution (S) la fonction F’(x,, ...,æ,) devient une certaine fonction irréductible ®,(y,, y:, ..., y,). Or, il est bien facile de voir que l’on a
D(yi+h, …, Ya+h)—D(y:,..…, Ce Pen D (y ane Pa)
Di Yi Vas ee Yg) = lim
En effet, lorsqu'on donne à x,, æ,, ..., x, le même accroissement b, Vas Vos.) 4 prennent, en vertu des relations (S)et (5), le même accroissement , ce qui établit la proposition.
Ainsi les substitutions (5): transforment F(x,"%%;)et0Ei(r,, 26552) Fespectivémentien (y 72,7... 4) eDiOV PUS ve
Remarquons que si l’on pose q q P
IDÉES Sr) (ARR).
on a aussi
Enfin si la fonction F admet des dérivées partielles continues, on a évi-
demment OF OF OF
