TS LS
JL FRA m Et), 24 rA)aR.
nc.
SiRet R, sont deux intégrales quelconques de l'équation (1), leur différence R, — R dépend des seules variables
= Li Lars Us—= Ti L;;, Dec Ur = La ne
On obtient donc toutes les intégrales en ajoutant à l’une d’elles une foncon quelconque deu, .-, 0.
Enfin, la fonction F étant périodique, si R(x,,%,,...,4,) est une intégrale, la fonction R(x,+ m,a,,%, + m,@,,...,4,+ m,a,) est aussi une intégrale quels que soient les entiers 72,, m,, ..., nm.
L'intégrale (4) nous montre qu'il existe des intégrales périodiques par rapport à (2 —1) quelconques des variables x,, ..., æ,, puisqu'elle est elle-même périodique par rapport à &,, 44, ...,æ,.
Envisageons l’ensemble des intégrales continues périodiques en x,, La, 3 2. SOIt R l’une d'elles et considérons la différence
(5) R(LÉEGE ER er) Re. 0, 2) He de nn)
le premier membre étant périodique en æ,,æ,, ..., æ,, il en résulte que la fonction H est périodique en w,, u,, ..., u,, les périodes étant a,
AR, ..73 D. FOSONS
I LE d3 An = | Ji “ip HOUSE NL PU), dits se Aline A3 A3... An, J, À
Je dis d’abord que la constante K est la même pour toutes les intégrales de l’espèce considérée; en effet, R, désignant une autre de ces intégrales, on aura
[Rime do ...,æn)—R(mi+a,x:,...,æ,)l RL EN) =R (Gen ml
= HW AUS Ur) D) LU) Si l’on pose OU Un) hit, 2) R(r,.-:, 2), la fonction G est périodique en &,, u,, ..., u,, et l’on a de plus G(u2+ ii, U3+ Qi, ..., Un + a) — GC, 2 05) —=H;=H.
Or comme
Aa An 1 +. 2f GRH, dE di) dus. du, 0 0 [LE Un = cal GOT UN) du srdu;; 0 0
on en conclut
CA An CA de jé 1 Hidu, … dun [ en (ble 00 Ge 0 0 0 0
ce qui démontre la proposition. Il est bien aisé d'établir que la constante K est aussi indépendante des (7 — 1) variables vis-à-vis desquelles on considère les intégrales périodiques; c’est une constante attachée à la fonction F,
donnée par la formule
‘ di dy li == —— Ts il (Zi, 2) did, OU, HUE Un JON DA
c’est en quelque sorte la moyenne de la fonction F.
58 E. ESCLANGON,
Il résulte de là que, s’il existe des intégrales de l’équation (1), périodiques par rapport à toutes les variables, on a nécessairement 0
Cette condition est-elle suffisante? Nous allons montrer qu'il n’en est pas ainsi.
Supposons K — 0. A toute intégrale R, périodique en æ3, æ3, ..., correspond une fonction continue H(w,,...,u,), périodique en &,,..., Us, définie par la relation (5); sa valeur absolue possède un maximum y. Je dis que l’ensemble des nombres positifs w a zéro comme limite inférieure.
Si R(x,,...,x,) est une intégrale de l'espèce considérée, la fonction
Fi RG 4e sur)
où G est une fonction quelconque périodique en &,, u3,..., u,, est aussi de cette espèce, et l’on à
H,=H—[G(u+ a, u+ a, ..., un + a) — G(ue, us, ..., un)].
Or il est facile de voir que l’on pourra déterminer une fonction G de façon que | H, | QE, e étant un nombre positif donné quelconque.
En effet la fonction H étant continue, on pourra la représenter avec l’approximation (!) donnée £ par une suite finie de Fourier de la forme
MU: Mn U un +.) = A cosar | - LIST Ant +8).
a Ar
dans laquelle, puisque K = o, la combinaison m,=m,=...=m,=— 0 est exclue.
Choisissant alors pour G(u,,...,u,) la fonction
; à A Ë M d; M3 a; (== > SIN2T | — | uo— — | + | u3— — | +.
M. 7z) dy D d3 2 T
2 SINT A: ROUE An ps
on aura H, = H EE h,
(1) Approximation qui a lieu quelles que soient les valeurs attribuées aux variables.
c’est-à-dire, pour toutes les valeurs des variables, RE
La fonction. G est bien déterminée (!) puisque les périodes a,, a,, ..., 4, sont indépendantes; mais le procédé ne s'applique qu'à une suite finie; en d’autres termes, si l’on considère une suite de suites finies de Fourier he LE ge Rs h,, ... ayant pour limite la fonction H, les fonctions COrrespondantes G,, G,, ..., G,, ..., déterminées de la façon précédente, n’ont pas nécessairement une fonction limite (?), de sorte qu'il peut parfaitement n’exister aucune fonction G vérifiant l'équation
(6) Gus + di, Us + di, ..., un + di) — G(u, ..., un) =H,
bien qu'on en puisse former qui la vérifient avec toute approximation donnée.
En définitive, s? K —=o, 1 existe des intégrales R(&,, &:, ..., &) périodiques en x;, «3, ..., æ,, et telles que la différence
KR (T1 + Gus Das -.., La) R(Lp Lion; Ln)
soit, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables x,, x,, ..., æ,, inférieure, en module, à tout nombre donné e; en un motil y a des intégrales qui sont presque périodiques, s’approchant, pour ainsi dire, autant que l’on veut de fonctions périodiques, mais il ne s'ensuit pas qu'il existe des intégrales exactement périodiques (*); d'ailleurs le fait peut être
(1) La fonction G satisfaisant ici à la condition G(uo + Gi, Us + du, ..., Un + 1) — G(us, U3, .e., Un) = À
n’est, en réalité, déterminée qu’à une constante près. En effet, si Gest une autre fonction vérifiant la même relation, on voit que la différence G'— G admet alors, en plus des périodes (@9,0,...,0), (0, @2, .-.,0), ..., (0,0, ..., &n); la période (&1, &,...,&1),ce qui, d'après la remarque de la page 49, exige que G'— G soit une constante.
(2) Les constantes que l’on pourrait ajouter à G1, G2, ..., Gp, ... ne peuvent, comme on le verrait aisément, modifier le caractère de cette suite dans le sens de la convergence.
(3) On verra plus loin (II Partie) que, s’il n'existe pas d’intégrale périodique, aucune des intégrales n’est bornée, c'est-à-dire qu'en module toute intégrale dépasse tout nombre
donné, et que, s’il y a une intégrale bornée, il existe une intégrale périodique.
60 E. ESCLANGON.
inexact. On pourrait objecter que la fonction H figurant dans l'équation (6) n’est pas quelconque, puisqu'elle est de la forme indiquée par la formule (5) et que la nature de cette dernière pourrait peut-être assurer l’existence d’une fonction G vérifiant la relation (6). Il n’en est rien et l’on peut établir directement qu'il est des cas où l'équation (1), malgré lhypothèse K — 0, n'a pas d’intégrales périodiques.
Supposons, en effet, qu'il existe une intégrale finie, périodique, R(&,,%,...,4,); on établit sans peine les relations suivantes :
dd... dn Am, Mo, «y Mn
LT (LE) a n M Mn En = 1 il Feos2r RE — 2)de, … de, 0 0 0 di An m m de An M Mn 1 4 . c on (++ on el Rsinor| +... +"7|47,..dz2,, di An & : CA An
dj A... An B. TR ee ln
en a &n à MT ONCE = A ue Fsinar (nt +. + 2h) de. des 0 0 0 a An [44 «a m Mn E f MAT; HOES =—QT|— +...+ — A R Cos27 | —— +,.,+ A. 04 di dn 0 0 di An
Or désignons par |a,a,...a,| x M le maximum de la valeur absolue
de R; on en conclut, quels que soient les entiers m,, ..., m,,
Pie ne V2 Le ñn M, &; 7 nm m
VE Ets Ze, SE n M:
FA An
ce sont là de nouvelles conditions nécessaires, qui peuvent parfaitement ne pas être satisfaites. En effet, bien que les périodes àa,, ..., a, soient
er d le art 0 Tite DE :
indépendantes, les quantités me or = peuvent devenir infiniment pe- 1 2
ni
ttes, et cela de bien des façons. On peut même dire qu'il existe des systèmes
de périodes indépendantes telles que, pour une infinité d’entiers m,, ..….,
: +...+ "| devient plus petite que toute fonction de
MA, la quantité
la forme
(il ñ . CRE : s de.
RER étant une fonction positive quelconque grandis sant indéfiniment avec m,, m,,..., my.
Pour traiter un exemple précis, considérons le cas de deux variables, et
. [42 . ..e . .] UE soit 4 — 7 un nombre incommensurable positif plus petit que l'unité (ba 6).
Etant donné l’entier positif 7 quelconque, il existe des nombres incommensurables & <{1 tels que, pour une infinité d’entiers positifs », n, on ait(")
Comme & < 1 on a » << n; cette inégalité entraîne les suivantes :
I e 210 an?" = a(m?+n)"
Considérons maintenant la série
QC I 3 LOC PERS one) =} (m?+ n?)° or (e cs ),
dans laquelle » et nr prennent toutes les valeurs entières positives, négatives ou nulles. Cette série est absolument et uniformément convergente si e>1; elle admet même des dérivées partielles développables jusqu’à l’ordre 2(p — 1). On a ici
Lu b H 2 mx ny Î Br,n= — Fsin2r (— — —- ) dx dy = ———:
Et el 1 a b F (m?+ n?)0
S’il existait une intégrale finie périodique de Péquation
et
on pourrait trouver un nombre fixe et positif M tel que l’on eût, quels que
(1) Borgz, Lecons sur la théorie des fonctions, p. 28. Paris, Gauthier-Villars, 1898.
62 E. ESCLANGON.
soient les entiers m, n, I m n | (m?+ n?)P de
Mais pour les entiers qui satisfont aux inégalités (7) cela entraînerait
inégalté impossible pour tous ces mêmes entiers si r > p; or, à part la condition p > 1, les nombres positifs r et p sont arbitraires.
Il se présente donc, dans le cas des intégrales de fonctions périodiques de plusieurs variables, des difficultés particulières {enant à la nature arithmétique des périodes. Ces difficultés ne se rencontrent pas dans les intégrales de fonctions périodiques d’une variable, pour lesquelles la condition K — o est nécessaire et suffisante pour assurer l'existence d’intégrales périodiques.
Remarquons enfin que, dans le cas le plus général, si la fonction périodique F(x,,x%,,...,x,) est continue, on pourra trouver des fonctions (2,5%, -.., 2.) cdutérant detfide moinsidec et admettant demie grales périodiques, à condition, bien entendu, comme toujours, que les périodes soient indépendantes et que K —o. Cela résulte du fait qu’on peut trouver une sutle finie de la forme
(ER NLTE Mn TC F,—Ÿ A cos2r Le TEE) a; a,
représentant F avec l’approximation e, et qu’alors la fonction KR définie par
les formules (3) de la page 55 représente une intégrale périodique de F,.
Il résulte de ce que nous avons dit sur les dérivées des fonctions périodiques que, si la fonction F admet une intégrale périodique R, les fonctions KR et Font toutes leurs périodes communes et ont le même ordre de réducübilité. Si F est irréductible, R est également irréductible. Deux intégrales périodiques ne différent que par une constante.
Si F—K, K étant une constante, admet une intégrale périodique R, l’intégrale générale de la fonction F pourra se mettre sous la forme
K x; + R (Zi Tas Zn) + 0 (Zi — Lay Li Dgysres La — Ln);
la fonction périodique R, définie à une constante prés, sera dite la partie périodique de l'intégrale. West manifeste que la fonction R et la fonction F ont le même ordre de réductibilité, et cela tient à cette propriété évidente, que Les deux fonctions F et F— K ont les mêmes périodes.
Dans tous les cas, si R(x,,#,,...,x,) est une intégrale quelconque, on a évidemment
OL, nee . M, Z'dr EC.
Tout ce que nous avons dit sur les propriétés communes à une fonction périodique et à ses dérivées, nous pouvons le répéter sur les fonctions
HO ur) mit at Role sln nl) EL) Le En).
(ki, Ka KR) hk=0 h 2
l'indépendance des périodes est alors remplacée par cette condition qu'il n'existe aucune relation linéaire à coefficients entiers de la forme
ki Es ky TUEete 100 eine en /Lr n—10 d; do Xn
en supposant toutefois que les nombres k,,..., k, sont tous différents de o.
Périodes des fonctions de variables imaginaires. — Les résultats que nous avons obtenus permettent d'établir facilement les théorèmes connus sur le nombre maximum des périodes que peuvent posséder les fonctions de variables imaginaires. Soit
HP p)brO(z,7) une fonction de la variable imaginaire 3 — x + iy. w — a + 1b étant une période de f(z), on a simultanément :
P(x+a,y+b)=Pi(x, y), Q(z+a,7y+b)=Q(x, y).
Il résulte clairement de là que si l’une des fonctions P ou Q est irréductible, f(z) ne peut admettre plus de deux périodes distinctes. Supposons f (3) analytique : on à alors
