OP 0Q 0P 0Q

64 E. ESCLANGON.

et PDP ®Q dQ dt Up ” de op

Or une fonction harmonique ne peut être réductible que si elle est fonction linéaire de x et y. Si l’on avait, en effet,

P—o(axz+fy), on en déduirait (a+ 6?)o"(axz +by)=o ou g"— 0,

et, par suite,

P—ix+py +», Q—=—pr+diy+n;

d’où enfin f(z)= As +B,

qui ne peut admettre de période que si À — o.

Par conséquent si une fonction analytique n’est pas une constante elle ne peut admettre plus de deux périodes distinctes. Enfin les relations (1) montrent que toute période de l’une des fonctions P ou Q appartient nécessairement à l’autre. Toutes les propositions bien connues sur les périodes et les parallélogrammes fondamentaux s’en déduisent sans difficulté.

Dans le cas des fonctions analytiques de plusieurs variables imaginaires, les propositions générales sur les périodes s’obtiennent avec autant de facilité, et en particulier ce théorème, d’après lequel une fonction analytique de x variables ne peut admettre plus de 22 périodes distinctes.