COLE

d; er b, a ne ; A M:. M’ CS bn L b, ‘

Il faut donc que le déterminant A divise tous ses mineurs M?. Le déterminant adjoint formé avec les mineurs est alors divisible par 4, d'autre part

: ; : } : 1 A . : : s il est égal à A7"; le quotient a devant être entier, il suit de là que À = +5. Se: x ; I J On trouve donc comme condition nécessaire celle que RC )) )

. . DNS : à . [l s'expriment en fonctions linéaires, et à coefficients entiers, de —, ..., —, d (LA

le déterminant des coefficients étant égal à +1. Cette condition est d’ailleurs suffisante. Si & est un élément du COrps

reduit dé par aa, 0, 4, 0ma Dr 7 ni.

a &; A» Ce

mi +. +m,M, "1 : : HMS. me MP = À b, es « A b 2

puisque A = Er, ceci montre que & appartient au corps réduit défini par speéricdesb 0...

le moyen d'obtenir tous les systèmes bases, ou bases d’un même corps réduit.

etinversement. La démonstration nous indique

À un certain point de vue, les corps réduits d'ordre plus grand que un, ont des caractères que ne possèdent pas les corps d'ordre wn. En effet, si & est la base d’un corps réduit d'ordre un, celui-ci se compose des périodes

SD ts ——) CH pS

a a a o mn

a est la seule période qui puisse être choisie comme base. Au contraire, dans un corps réduit d'ordre supérieur à un, il existe une infinité de bases.

Parmi toutes les périodes d’un corps réduit, certaines peuvent devenir

80 E. ESCLANGON.

plus grandes que toute quantité donnée, d'autres peuvent au contraire devenir, en valeur absolue, inférieures à tout nombre donné, Dans l'un et l’autre cas, parmi les entiers #2 qui servent à définir la période a par la formule I m mn, My = 4 .

= i .…. Ent)

a di te hp

un où plusieurs d'entre eux grandissent indéfiniment; si un seul grandit indéfiniment, la période devient infiniment petite.

Enfin, parmi les périodes d'un corps réduit, nous ferons encore une classification importante. Nous distinguerons celles pour lesquelles les entiers Ms Masse, M), NON aucun diviseur commun ('}, el nous les appellerons les périodes primitives du corps réduit. D'après cela le corps réduit se compose

de l'ensemble des périodes primitives et de leurs sous-multiples.

Deux périodes primitives distinctes, st elles ne sont pas égales et de

signes contraires, sont toujours incommensurables.

IL est essentiel de remarquer que la définition des périodes primitives ne dépend nullement de la base qui sert à définir le corps réduit. En d’autres termes, si & est une période primitive relativement à la base a,, a,, ..., a,, a est encore période primitive dans la base b,, b,, ..., b,.

EÉcrivons, en eflet,

I m, M M p — t cl 5 a di CA > 3 May ce) IN) elant supposés n'avoir aucun diviseur commun. On a, d'autre part, 1 1 Ru Re &i b, by rs Re < nt Le b; Dh avec la condition Ris un | OURS ET

(1) Siles entiers »# sont tous nuls, à l’exception d'un seul, celui-ci doit être égal à Ha.

par suite,

1 2 1 __MuUi + Mopi +... + Mpp} x MU. + Upue : D Bp ee ph

a b, b, ne b

et il s’agit de montrer que les coefficients entiers

M=mipt + miu?+...+ mu, M;,= mp} +miui+...+ mn, SR tre NE ee POS EL ES M,= Map + Mpi +... + mu

n'ont aucun diviseur commun. Pour le voir il suffit de résoudre ces équations par rapport à m»,, m:,..., M, On en tirera (au signe près puisque A= +1)

mi = AIM; +...+AIM,,

mA Mi. PAÎM;

A? désignant le mineur relatif à w? dans le déterminant A. Il résulte de là que si M,, M,,..., M, avaient un diviseur commun, ce diviseur appartiendrait à chacun des entiers ,, m,, ..., m,, nombres qui, par hypothèse, sont premiers entre eux.

L'ensemble des périodes primitives est donc parfaitement défini. C’est un ensemble naturellement dénombrable, dont les éléments peuvent être ‘angés, si l’on veut, dans une suite simplement infinie, et cela d’une infinité de manières. On pourrait, par exemple, procéder comme il suit :

Choisissons une base de périodes, &,, &,, ..., a, et considérons toutes les périodes primitives pour lesquelles les entiers n,, m,, ..., m, sonten valeur absolue inférieurs à un entier donné M, ; ces périodes sont en nombre fint;

écrivons-les dans un ordre quelconque G)js QE ….) OL

Considérons ensuite toutes les périodes primitives dont les entiers cor-

respondants 72,, mt, . sont, en valeur absolue, inférieurs à un second

De entier M, > M,. Ces périodes comprennent les périodes &,, &,, ..., o,, et